Visualizza wikitesto di Distribuzione di Fisher-Snedecor

{{NN|statistica|gennaio 2013}}
{{variabile casuale
 | nome      = Distribuzione di Fisher-Snedecor
 | tipo      = densità di probabilità
 | pdf_image = [[Image:F-distribution pdf.svg|325px|Funzione di densità di probabilità]]<br><small>i parametri ''m'' ed ''n'' sono indicati come ''d1'' e ''d2''</small>
 | cdf_image = [[Image:F_distributionCDF.png|325px|Funzione di ripartizione]]<br><small>i parametri ''m'' ed ''n'' sono indicati come ''d1'' e ''d2''</small>
 | parametri = <math>d_1,d_2 >0 </math> (''gradi di libertà'')
 | supporto  = <math>\mathbb{R}^+</math>
 | pdf       = <math>\frac{1}{\Beta(\tfrac{d_1}{2},\tfrac{d_2}{2})}\frac{1}{x}\left(\frac{(d_1x)^{d_1}\ d_2^{d_2}}{(d_1x+d_2)^{d_1+d_2}}\right)^\frac{1}{2}</math><br><small>con <math>\Beta</math> la [[funzione beta di Eulero|funzione beta]])</small>
 | cdf       = <math>I_{\tfrac{d_1x}{d_1x+d_2}}(\tfrac{d_1}{2},\tfrac{d_2}{2})</math><br><small>(con <math>I</math> la [[funzione beta di Eulero#Funzione beta incompleta|funzione beta incompleta regolarizzata]])</small>
 | media     = <math>\frac{d_2}{d_2-2}</math> se <math>d_2>2</math><br>infinita altrimenti
 | mediana   =
 | moda      = <math>0\ </math> se <math>m\leqslant 2</math><br><math>\frac{m-2}{m}\frac{n}{n+2}</math> se <math>m\geqslant2</math>
 | varianza  = <math>\frac{2n^2(m+n-2)}{m(n-2)^2(n-4)}</math> per <math>n>4</math><br>non definita altrimenti
 | skewness  =
 | curtosi   =
 | entropia  =
 | momgenfun =
 | funzcar   =
}}
In [[Teoria della probabilità|teoria delle probabilità]] la '''distribuzione di Fisher-Snedecor''' (o '''F di Snedecor''', o '''Z di Fisher'''<ref>{{cita|Ross|p. 195|Ross, 2003}}.</ref>) è una [[Variabile casuale#Distribuzione di probabilità|distribuzione di probabilità]] continua che regola il rapporto "riscalato" tra due [[Variabile casuale|variabili aleatorie]] che seguono due [[distribuzione chi quadrato|distribuzioni <math>\chi^2</math>]].

Viene impiegata nell'[[analisi della varianza]] e in generale per l'omonimo [[test F]].

Prende il nome dai [[matematico|matematici]] [[George W. Snedecor]] ([[Stati Uniti d'America|statunitense]]) e [[Ronald Fisher]] ([[Regno Unito|britannico]]).

== Definizione ==
La distribuzione di Fisher-Snedecor con parametri i [[Numero naturale|numeri naturali]] <math>(m,n)</math> governa la variabile aleatoria
:<math>F=\frac{X/m}{Y/n} </math>,
dove <math>X</math> e <math>Y</math> sono variabili aleatorie indipendenti con rispettive distribuzioni chi quadrato con <math>m</math> ed <math>n</math> ''gradi di libertà'', <math>\chi^2(m)</math> e <math>\chi^2(n)</math>.

=== Caratteristiche ===
La distribuzione di Fisher-Snedecor di parametri <math>(m,n)</math> ha [[funzione di densità di probabilità]]
:<math>f(x)=\frac{1}{\Beta(\tfrac{m}{2},\tfrac{n}{2})}\frac{1}{x}\left(\frac{m^mn^nx^m}{(mx+n)^{m+n}}\right)^\frac{1}{2} </math>,
dove <math>\Beta(\alpha,\beta)</math> è la [[funzione beta di Eulero|funzione beta]].

La sua [[funzione di ripartizione]] è data dalla [[funzione beta di Eulero#Funzione beta incompleta|funzione beta incompleta regolarizzata]],
:<math>F(x)=I_{\tfrac{mx}{mx+n}}(\tfrac{m}{2},\tfrac{n}{2}) </math>.

La distribuzione ha [[Momento (probabilità)|momenti semplici]] di ordine <math>k</math> infiniti per <math>k>n/2</math>, altrimenti pari a
:<math>\mu_k=\frac{n^k}{m^k}\cdot\frac{m(m+2)(m+4)\cdots(m+2k-2)}{(n-2)(n-4)(n-6)\cdots(n-2k)} </math>.
In particolare ha
<ul>
<li> [[Valore atteso|speranza matematica]] pari a
:<math>E[F]=\frac{n}{n-2} \mbox{ per } n>2; </math></li>
<li> [[varianza]] pari a
:<math>\text{Var}(X)=\frac{2n^2(m+n-2)}{m(n-2)^2(n-4)} \mbox{ per } n>4; </math></li>
<li> indice di [[Simmetria (statistica)|asimmetria]] pari a
:<math>\gamma_1=2\sqrt{\tfrac{2(n-4)}{m(m+n-2)}}\tfrac{2m+n-2}{n-6} \mbox{ per } n>6; </math></li>
<li> indice di [[curtosi]] pari a
:<math>\gamma_2=12\cdot\frac{n^3+5mn^2+5m^2n-8n^2-32mn+22m^2+20n+44m-16}{m(m+n-2)(n-6)(n-8)} \mbox{ per } n>8. </math>
</li>
</ul>

La sua [[moda (statistica)|moda]] è <math>0</math> se <math>m\leqslant2</math> e
:<math>\frac{m-2}{m}\frac{n}{n+2}</math> se <math>m\geqslant2 </math>.

== Altre distribuzioni ==
Per definizione, se una [[Variabile casuale|variabile aleatoria]] <math>F=\tfrac{X/m}{Y/n}</math> segue la distribuzione di Fisher-Snedecor di parametri <math>(m,n)</math>, allora la sua inversa <math>F^{-1}=\tfrac{Y/n}{X/m}</math> segue la distribuzione di Fisher-Snedecor di parametri <math>(n,m)</math>.
Questa relazione permette di esprimere i [[quantile|quantili]] di una distribuzione in termini dei quantili dell'altra:
:<math>P(F^{-1}\leqslant q)=P(F\geqslant q^{-1})=1-P(F\leqslant q^{-1}) </math>.

Una generalizzazione di questa distribuzione è la ''distribuzione di Fisher-Snedecor non centrale'', per la quale la variabile aleatoria <math>X</math> nella definizione di <math>F=\tfrac{X/m}{Y/n}</math> può seguire una [[distribuzione chi quadrato non centrale]].

Se <math>T</math> è una variabile aleatoria con [[distribuzione t di Student]] di parametro <math>\nu</math>, allora <math>F=T^2</math> segue la distribuzione di Fisher-Snedecor di parametri <math>(1,\nu)</math>.

Se <math>T^2</math> è una variabile aleatoria con [[Distribuzione T-quadrato di Hotelling|distribuzione di Hotelling]] di parametri <math>(p,m)</math>, allora <math>F=\tfrac{m-p+1}{mp}T^2</math> segue la distribuzione di Fisher-Snedecor di parametri <math>(p,m-p+1)</math>.

Se la variabile aleatoria <math>F</math> segue la distribuzione di Fisher-Snedecor di parametri <math>(m,n)</math>, allora <math>B=\frac{mF}{mF+n}</math> segue la [[distribuzione Beta]] <math>\Beta(\tfrac{m}{2},\tfrac{n}{2})</math>.

== Note ==
<references/>

== Bibliografia ==
*{{cita libro|autore=Sheldon M. Ross|titolo=Probabilità e statistica per l'ingegneria e le scienze|editore=Apogeo|città=Trento|anno=2003|isbn=88-7303-897-2|cid=Ross, 2003}}

== Voci correlate ==
* [[Analisi della varianza]]
* [[Distribuzione chi quadrato]]
* [[Funzione beta di Eulero]]

== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenti esterni}}

* {{PlanetMath|fdistribution|F distribution}}

{{Portale|matematica|statistica}}

[[Categoria:Distribuzioni di probabilità|Fisher-Snedecor]]
[[Categoria:Analisi della varianza]]