Visualizza wikitesto di Dimostrazione della divergenza della serie dei reciproci dei primi

Uno dei primi [[Teorema|teoremi]] della [[teoria dei numeri]] dimostrato in modo analitico è la divergenza della [[Serie (matematica)|serie]] dei reciproci dei [[numero primo|numeri primi]], cioè

:<math>\lim_{x \rightarrow \infty} \sum_{p \leq x} \frac{1}{p}=\infty,</math>

dove la variabile <math>p</math> indica un numero primo.

== Dimostrazione (Eulero) ==
Per la dimostrazione è necessario un lemma riguardante la [[serie armonica]].

Dalla definizione del [[e (costante matematica)|numero di Nepero]] si ricava immediatamente che

:<math>\left(1+\frac{1}{n}\right)^n<e,</math>

per ogni <math>n</math> intero positivo, prendendo il [[logaritmo]] di entrambi i membri si ottiene

:<math>n\,\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)<1,</math>

da cui

:<math>\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)<\frac{1}{n}</math>

e infine

:<math>\ln\left(n+1\right)-\ln\left(n\right)<\frac{1}{n}.</math>

Considerando adesso la somma dei reciproci di tutti i [[Numero naturale|numeri naturali]] fino a <math>n</math> si ricava

:<math>\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}>\sum_{k=1}^{n} \left( \ln\left(k+1\right)-\ln\left(k\right) \right)=\ln\left(n+1\right).</math><ref>Questa è una [[serie telescopica]] che si riduce a <math>\ln(n+1)-\ln(1) = \ln(n+1)</math>.</ref>

Quest'ultima disuguaglianza sarà fondamentale nella dimostrazione della divergenza della somma dei reciproci dei numeri primi.

Adesso definiamo il prodotto <math>P</math> come 

:<math>P\left(x\right)=\prod_{p \le x} \left(1-\frac{1}{p}\right)^{-1}.</math>

Sapendo che 

:<math>\left(1-\frac{1}{p}\right)^{-1}=1+\frac{1}{p}+\frac{1}{p^2}+\frac{1}{p^3}+\ldots</math><ref>Questa è la formula (vista "al contrario") della [[serie geometrica]], per cui, dato <math>x<1</math> (in questo caso <math>1/p</math>), si ha <math>\sum_{k=1}^{\infty}x^k=(1-x)^{-1}</math>.</ref>

si ricava

:<math>P\left(x\right)=\sum_{n \in A\left(x\right)}\frac{1}{n},</math>

dove l'insieme <math>A</math> è definito come

:<math>A\left(x\right)=\lbrace n : p|n \Longrightarrow p \le x \rbrace.</math>

Evidentemente se <math>n \le x</math> allora <math>n \in A\left(x\right)</math> quindi

:<math>P\left(x\right) > \sum_{n \le x}\frac{1}{n}</math>

e dalla disuguaglianza ricavata sulla serie armonica si ricava

:<math>P\left(x\right) > \ln\left(x+1\right).</math>

Adesso sapendo che <math>y > -\frac12\ln\left(1-y\right)</math> per ogni <math>0<y < \frac{1}{2}</math> si ottiene

:<math>\sum_{p \le x}\frac{1}{p} > -\frac12\sum_{p \le x} \ln\left(1-\frac{1}{p}\right)= \frac12\ln P\left(x\right)>\frac12\ln\ln x,</math>

dove l'ultimo membro diverge per <math>x</math> tendente a infinito, quindi la serie dei reciproci dei numeri primi diverge.

== Seconda dimostrazione (Eulero) ==
Eulero fornì anche un'altra dimostrazione, partendo sempre dalla serie armonica. Usando l'espansione di questa come [[prodotto infinito]] scrisse:

:<math>S=\ln \left( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\right) = \ln \left( \prod_{p} \frac{1}{1-p^{-1}}\right) = 
\sum_{p} \ln \left( \frac{1}{1-p^{-1}}\right)= \sum_{p} - \ln\left(1-\frac{1}{p}\right),</math>

usando le proprietà dei [[logaritmo|logaritmi]]; quindi espanse la somma come la [[serie di Taylor]] di <math>\ln(1-x)</math>:

:<math>S= \sum_{p} \left( \frac{1}{p} + \frac{1}{2p^2} + \frac{1}{3p^3} + \cdots \right) = \left( \sum_{p}\frac{1}{p} \right) + \sum_{p} \frac{1}{p^2} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3p} + \frac{1}{4p^2} + \cdots \right).</math>

I termini <math>\frac{1}{3p},</math> <math>\frac{1}{4p^2},</math> ecc., possono essere maggiorati come:

:<math>S< \left( \sum_{p}\frac{1}{p} \right) + \sum_{p} \frac{1}{p^2} \left( 1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \cdots \right) = \left( \sum_{p} \frac{1}{p} \right) + \left( \sum_{p} \frac{1}{p(p-1)} \right).</math>

Il secondo addendo converge perché è minore della [[serie di Mengoli|corrispondente serie]] in cui gli addendi sono presi tra tutti i naturali anziché solo tra i primi; quindi

:<math>S<\left( \sum_{p} \frac{1}{p} \right) + C.</math>

Poiché la somma <math>S</math> cresce come <math>\ln\ln{n}</math> per <math>n</math> tendente all'infinito, Eulero concluse che 

:<math>\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \frac{1}{11} + \cdots + \frac{1}{p_n}  \approx \ln \ln{n}.</math>

== Terza dimostrazione (Erdős) ==
La dimostrazione di [[Paul Erdős|Erdős]] fa uso solo di metodi elementari.

Per assurdo sia <math>\sum_p \frac{1}{p} < \infty</math> allora esiste un numero primo <math>P</math> tale che <math>\sum_{p>P} \frac{1}{p} < 1/2</math>.

Sia <math>N>P</math> un intero arbitrario, indichiamo con <math>N_1</math> il numero di interi minori o uguali a <math>N</math> che hanno solo fattori primi minori o uguali a <math>P</math>, indichiamo anche <math>N_2=N-N_1</math>. Abbiamo che 

:<math>N_2 \leq \sum_{p \ge P} \left\lfloor \frac{N}{p} \right\rfloor < \sum_{p \ge P}  \frac{N}{p} <\frac{N}{2}.</math>

Ora stimiamo <math>N_1</math>, scriviamo <math>k= \pi (P)</math>, ogni <math>x \le N</math> si può scrivere nella forma 

:<math>x = yz^2,</math>

dove <math>y</math> è [[intero privo di quadrati|privo di quadrati]] e <math>z \le \sqrt{N}</math>, se <math>x</math> è divisibile solo per i primi minori o uguali a <math>P</math>, allora lo è anche <math>y</math>. Ci sono meno di <math>2^k</math> possibili scelte per <math>y</math> e meno di <math> \sqrt{N}</math> scelte per <math>z</math>, da cui

:<math>N_1 \le 2^k \sqrt{N}</math>

e quindi

:<math>N < 2^k \sqrt{N}+\frac{N}{2}</math>

si dimostra facilmente per induzione e utilizzando il [[postulato di Bertrand]] che per l'ennesimo numero primo si ha <math>p_n \le 2^n</math> e di conseguenza <math>\pi(n) \ge \frac{\ln n}{\ln 2}</math>, quindi possiamo scegliere <math>N=2^{2k+2}>P</math> e troviamo

:<math>N < 2^k (2^{k+1})+2^{2k+1}=N</math> 

che è assurdo e conclude la dimostrazione.

== Quarta dimostrazione (Clarkson) ==
Come nella dimostrazione precedente, notiamo che se la serie dei reciproci dei primi convergesse, allora esisterebbe <math>k</math> tale che <math>\sum_{m=k+1}^{\infty}\frac{1}{p_m}<\frac{1}{2}</math>, dove con <math>p_m</math> indichiamo il <math>m</math>-esimo numero primo. Consideriamo ora il numero <math>Q=p_1p_2\cdots p_k</math>: si osserva immediatamente come <math>1+nQ</math> per <math>n=1,2,\ldots</math> non sia divisibile dai primi <math>p_1,p_2,\ldots,p_k</math>. Dunque, la decomposizione in fattori primi di <math>1+nQ</math> richiede i primi successivi a questi, ossia <math>p_{k+1},p_{k+2},\ldots</math>. Se ne deduce quindi che 

:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{1+nQ}<\sum_{t=1}^\infty \left(\sum_{m=k+1}^\infty \frac{1}{p_m} \right)^t</math>

poiché ogni termine della [[sommatoria]] a sinistra si può trovare sviluppando sufficientemente la doppia sommatoria a destra. Per la disuguaglianza ottenuta dall'ipotesi iniziale, segue però che

:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{1+nQ}<\sum_{t=1}^\infty \left(\frac{1}{2}\right)^t</math>

e la serie a destra, geometrica di ragione <math>\frac{1}{2}</math>, converge a 1, quindi per il criterio del confronto anche la serie <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{1+nQ}</math> converge. Ciò è una contraddizione, poiché è immediato verificare come questa serie in realtà diverga: per il criterio di confronto tra serie e integrale, la nostra serie converge [[se e solo se]] converge il seguente integrale, <math>\int_1^\infty \frac{1}{1+Qx}dx</math>, che però diverge, poiché 

:<math>\int_1^{+\infty} \frac{1}{1+Qx}dx=\lim_{c\rightarrow +\infty} \frac{1}{Q}\left[\ln(1+Qx)\right]^c_1=+\infty.</math>

Quindi, [[come volevasi dimostrare]], la serie dei reciproci dei primi diverge<ref>{{Cita web|url=https://www.ams.org/journals/proc/1966-017-02/S0002-9939-1966-0188132-7/S0002-9939-1966-0188132-7.pdf|titolo=Clarkson (1965)}}</ref><ref>{{Cita libro|autore=Tom M. Apostol|titolo=Introduction to Analytic Number Theory|url=https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0/page/n359/mode/2up|accesso=24 giugno 2024}}</ref>.

== Note ==
<references/>

==Voci correlate==
*[[Serie armonica]]
*[[Teoremi di Mertens]]
*[[Teorema dei numeri primi]]

{{Serie (matematica)|state=collapsed}}
{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Dimostrazioni matematiche]]
[[Categoria:Teoria dei numeri]]