Visualizza wikitesto di Campo vettoriale di Killing

{{S|geometria}}
In [[matematica]], un '''campo vettoriale di Killing''' è un [[campo vettoriale]] su una [[varietà riemanniana]] (o [[varietà pseudo-riemanniana|pseudo-riemanniana]]) che preserva la [[tensore metrico|metrica]]. I campi di Killing sono i generatori infinitesimali delle [[isometria|isometrie]].

I vettori di Killing sono chiamati così in onore di [[Wilhelm Killing]].

== Definizione ==
Un campo vettoriale ''X'' si dice ''campo di Killing'' se la [[derivata di Lie]] della metrica ''g'' lungo ''X'' è nulla:<ref>{{cita libro|autore=Jurgen Jost|titolo=Riemannian Geometry and Geometric Analysis|anno=2002|editore=Springer-Verlag|città=Berlino|isbn=3-540-42627-2}}</ref>

:<math>\mathcal{L}_{X} \, g = 0 \,.</math>

In termini della [[Connessione di Levi Civita|connessione di Levi-Civita]] questa equazione si scrive come:

:<math>g\left(\nabla_Y X, Z\right) + g\left(Y, \nabla_Z X\right) = 0 \,</math>

per ogni vettore ''Y'' e ''Z''. In coordinate locali, equivale all'equazione di Killing,<ref>{{cita libro|autore=Ronald Adler|autore2=Maurice Bazin|autore3=Menahem Schiffer|titolo=Introduction to General Relativity|ed=2|anno=1975|editore=McGraw-Hill|città=New York|capitolo=capitoli 3 e 9|isbn=0-07-000423-4}}</ref>

:<math>\nabla_\mu X_\nu + \nabla_{\nu} X_\mu = 0 \,.</math>

Questa condizione è espressa in forma covariante. Pertanto, è sufficiente stabilirla in un sistema di coordinate e sarà valida in ogni altro.

In una varietà n-dimensionale, esistono al più n(n+1)/2 vettori di Killing indipendenti.

== Esempi ==
In <math>\R^2</math> con la metrica <math>ds^2 = dx^2 + dy^2</math>, esistono 3 vettori di Killing, che corrispondono alle due traslazioni lungo gli assi coordinati e alla rotazione rispetto all'origine.

Nella [[ipersfera|2-sfera]] con la metrica <math>ds^2 = d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2</math>, esistono 3 vettori di Killing, che corrispondono alle rotazioni nello spazio.

In generale, i vettori di Killing chiudono un'[[algebra di Lie]], e le isometrie da essi generate formano un [[gruppo (matematica)|gruppo]]. Nella 2-sfera, si ha il gruppo [[gruppo unitario speciale|SU(2)]], mentre nello [[spaziotempo]] con la [[metrica di Minkowski]] si ha il [[gruppo di Poincaré]].

== Note ==
<references />
== Bibliografia ==
* {{cita libro|autore=Jurgen Jost|titolo=Riemannian Geometry and Geometric Analysis|città=Berlino|editore=Springer-Verlag|anno=2002|isbn=3-540-42627-2}}
* {{cita libro|autore=Ronald Adler|autore2=Maurice Bazin|autore3=Menahem Schiffer|titolo=Introduction to General Relativity|ed=2|anno=1975|editore=McGraw-Hill|città=New York|capitolo=capitoli 3 e 9|isbn=0-07-000423-4}}
* {{cita libro|titolo=Gravitation|url=https://archive.org/details/gravitation0000misn|autore=Charles Misner|autore2=Kip Thorne|autore3=John Archibald Wheeler|anno=1973|editore=W. H. Freeman and Company|città=San Francisco|isbn=0-7167-0344-0}}

== Voci correlate ==
* [[Campo vettoriale affine]]
* [[Simmetrie dello spaziotempo]]

{{Portale|matematica|fisica}}

[[Categoria:Geometria riemanniana]]