Visualizza wikitesto di Bozza:Matrice delle trasposizioni

{{Richiesta revisione bozza|ts=20250219183117|richiedente=Ognyan Ivanov Zhelezov|esito=Lingua italiana da sistemare, la voce è praticamente incomprensibile (detto da chi conosce la geometria delle matrici)|revisore=Superspritz}}
{{Bozza|arg=matematica|arg2=|ts=20250219102546|wikidata=}}<!-- IMPORTANTE: NON CANCELLARE QUESTA RIGA, SCRIVERE SOTTO -->
La '''matrice delle trasposizioni''' Tr(X) è una matrice quadrata di dimensione n pari a una potenza intera di 2, ogni elemento della quale Tr(X)ij contiene uno degli elementi {x} di un dato vettore X di dimensione n il cui indice è pari a uno più la moltiplicazione binaria esclusiva OR (XOR) del numero di riga i meno uno e del numero di colonna j meno uno dell'elemento Tr(X)ij.

== Formula ==

La formula con cui si calcolano gli elementi della matrice Tr(x) è quindi la seguente:
<math>Tr(X)_{i,j} = x_{1+(i-1) \oplus (j-1)} </math>
dove <math>i,j \ in [1,n] </math> e il simbolo <math>\oplus</math> rappresenta l'operazione  [[Disgiunzione esclusiva]] (''XOR'')

Ad esempio, la matrice delle trasposizioni <math>Tr(X)</math> ottenuta da un vettore
: <math>X=\begin{pmatrix}x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7,x_8 \\\end{pmatrix}</math>
ha la forma seguente:
: <math>Tr(X) = 
\begin{pmatrix}
x_1 & x_2 & x_3 & x_4 &|& x_5 & x_6 & x_7 & x_8 \\
x_2 & x_1 & x_4 & x_3 &|& x_6 & x_5 & x_8 & x_7 \\
x_3 & x_4 & x_1 & x_2 &|& x_7 & x_8 & x_5 & x_6 \\
x_4 & x_3 & x_2 & x_1 &|& x_8 & x_7 & x_6 & x_5 \\
-&-&-&-&|&-&-&-&- \\
x_5 & x_6 & x_7 & x_8 &|& x_1 & x_2 & x_3 & x_4 \\
x_6 & x_5 & x_8 & x_7 &|& x_2 & x_1 & x_4 & x_3 \\
x_7 & x_8 & x_5 & x_6 &|& x_3 & x_4 & x_1 & x_2 \\
x_8 & x_7 & x_6 & x_5 &|& x_4 & x_3 & x_2 & x_1 \\
\end{pmatrix}
</math>.

==La proprietà delle quadruple ==
Una coppia arbitraria di righe (o di colonne) di una matrice di trasposizione Tr contiene <math>n/2</math> 
quadrupli di elementi con valori uguali degli elementi diagonali. Ad esempio, se <math> Tr_{p,q}</math> e 
<math> Tr_{u,q}</math> sono due elementi scelti a caso dalla stessa colonna <math>q</math> della matrice 
<math>Tr</math>, allora da questa proprietà segue che <math>Tr</math> la matrice contiene una quadrupla 
di elementi <math>( Tr_{p,q}, Tr_{u,q}, Tr_{p,v}, Tr_{u,v})</math>, per i quali sono soddisfatte le equazioni 
<math> Tr_{p,q}=Tr_{u,v}</math> e <math> Tr_{u,q}=Tr_{p,v}</math>. Questa “proprietà  delle quadruple
“ è specifica delle matrici <math>Tr</math>.

[[File:Trs Matrix Fours.png|Le quadruple degli elementi della matrice <math>Tr</math> in cui gli elementi della 
diagonali sono uguali.]]

== Altre proprietà ==
* La matrice <math>Tr</math> е una [[matrice simmetrica]].
* La matrice <math>Tr</math> е una matrice persimmetrica, cioè è anche simmetrica intorno a la sua seconda diagonale.

== Matrice delle trasposizioni le cui righe sono reciprocamente ortogonali ==
La proprietà delle quadruple ci permette di ottenere da una matrice di trasposizioni <math>Tr</math> una matrice le cui righe sono reciprocamente ortogonali <math>Trs</math> cambiando il segno di un numero dispari di elementi in ciascuna delle quadruple <math>( Tr_{p, q}, Tr_{u,q}, Tr_{p,v}, Tr_{u,v})</math>, <math>p,q,u,v \ in [1,n] </math>. Esiste un algoritmo per costruire <math>Trs</math> una matrice utilizzando il prodotto di Hadamard della matrice <math>Tr</math> e una [[matrice di Hadamard|matrice di Hadamar]] con n-dimensionale <math>H=(h_{ij})</math> le cui righe (ad eccezione della prima) sono riordinate in modo che le righe della matrice risultante <math>Trs</math> siano reciprocamente ortogonali tra loro:
: <math>Trs(X) = Tr(X)\circ H(R) </math>
: <math>Trs.{Trs}^T=\parallel X\parallel^2.I_n </math>

dove:

: “<math>\circ</math>” è il prodotto di Hadamard,
<math>I_n</math> è una matrice unitaria,
: <math>H(R)</math> è una matrice di Hadamard n-dimensionale con permutazione delle righe <math>R=[1, r_2, ... r_n]^T , r_2, ... r_n \ in [2,n]</math> cambia il segno di un numero dispari di elementi in ciascuno dei quadrupli;
<math>X</math> è il vettore i cui elementi sono derivati dalla matrice <math>Tr</math>.

L'ordine di riga <math>R</math> della matrice di Hadamard è stato ottenuto sperimentalmente per matrici <math>Trs</math> di dimensioni 2, 4 e 8. L'ordine di riga <math>R</math> della matrice di Hadamar (rispetto alla matrice di Sylvester-Adamar) non dipende dal vettore <math>X</math>. È stato dimostrato che<ref>''Zhelezov O. I.'' Determination of a Special Case of Symmetric Matrices and Their Applications. Current Topics on Mathematics and Computer Science Vol. 6, 29-45 {{ISBN|978-93-91473-89-1}}</ref>, se <math>X</math> è un vettore unitario (<math>||X||=1</math>), allora <math>det(Trs)=-1</math> <!--[[Matrice Householder]]?-->.

== Esempio di come ottenere la matrice Trs ==
La matrice delle trasposizioni con righe mutuamente ortogonali <math>Trs(X)</math> per <math>n=4</math> è ottenuta dal vettore <math>X=[x_1,x_2,x_3,x_4]^T</math>  con la seguente formula:
: <math>Trs(X) = H(R) \circ Tr(X) = 
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 &-1 & 1 &-1 \\
1 &-1 &-1 & 1 \\
1 & 1 &-1 &-1 \\
\end{pmatrix}\circ
\begin{pmatrix}
x_1 & x_2 & x_3 & x_4 \\
x_2 & x_1 & x_4 & x_3 \\
x_3 & x_4 & x_1 & x_2 \\
x_4 & x_3 & x_2 & x_1 \\
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
x_1 & x_2 & x_3 & x_4 \\
x_2 &-x_1 & x_4 &-x_3 \\
x_3 &-x_4 &-x_1 & x_2 \\
x_4 & x_3 &-x_2 &-x_1 \\
\end{pmatrix}
</math>,
dove <math>Tr(X)</math> - <math>Tr</math> è la matrice ottenuta dal vettore 
<math>X</math>, H(R) è una matrice Hadamar le cui righe sono spostate nel 
ordine dato R,
per cui le righe delle matrici risultanti
Trs sono reciprocamente ortogonali. 
La prima riga della matrice <math>Trs(X)</math> risultante contiene gli elementi del vettore 
vettore <math>X</math> senza permutazioni o cambiamenti di segno. Dato il fatto 
che le
righe della matrice <math>Trs</math> sono reciprocamente ortogonali:
: <math>Trs(X).X = \parallel X\parallel^2.[1,0,0,0]^T</math>,
la matrice <math>Trs</math> ruota quindi il vettore <math>X</math>, da cui ha origine, in direzione del vettore <math>X</math>. 
origine, nella direzione dell'asse <math>x_1</math>.
L'ordine <math>R</math> delle righe della matrice di Hadamar non dipende dal vettore 
<math>X</math>. Esempi di generazione delle matrici <math>Tr</math> e 
<math>Trs</math> per <math>n = 2, 4, 8</math> sono stati pubblicati. Rimane aperta la questione 
aperta se sia possibile generare matrici Trs di dimensione superiore a 8.

== Note e riferimenti ==
# {{ouvrage|nom=Harville|prénom=D. A.|titre=''Matrix Algebra from Statistician’s Perspective''|année=1997|éditeur=Softcover}}
|titre=Hadamard matrices of the Williamson type
|journal=Math. Comp. | année=1965 | volume=19 | numéro=91 | pages=442–447
|doi=10.1090/S0025-5718-1965-0179093-2  |mr=0179093| accès doi=libre }}
# {{ouvrage|nom=Zhelezov|prénom=O. I.|titre=''Determination of a Special Case of Symmetric Matrices and Their Applications''|année=2021|éditeur=Current Topics on Mathematics and Computer Science Vol. 6, 29–45|isbn= 978-93-91473-89-1}}

=== Collegamenti esterni ===
* {{en}} [http://www.math.odu.edu/~bogacki/lat/ Linear Algebra Toolkit].
* {{en}} Rob Beezer, [http://linear.ups.edu/index.html ''A First Course in Linear Algebra''], sous licence [[GFDL]]
* {{en}} Jim Hefferon, ''[http://joshua.smcvt.edu/linalg.html/ Linear Algebra]''
* {{en}} Marie A. Vitulli, [http://darkwing.uoregon.edu/~vitulli/441.sp04/LinAlgHistory.html ''A Brief History of Linear Algebra and Matrix Theory'']
* http://article.sapub.org/10.5923.j.ajcam.20190904.03.html

{{Algebra lineare}}
{{Portale|matematica}}

{{Categorie bozza|
[[Categoria:Matrici quadrate ]]
}}