Varietà parallelizzabile

In matematica, una varietà differenziabile M di dimensione n si dice parallelizzabile se ammette un insieme di n campi vettoriali linearmente indipendenti, definiti globalmente sull'intera varietà M.

Definizione

Data una varietà differenziabile M di dimensione n, una parallelizzazione di M è un insieme $\{X_1,\dots ,X_n\}$ di n campi vettoriali definiti su tutta la varietà $M$ in modo che per ogni punto $p\in M$ l'insieme $\{X_1(p),\dots ,X_n(p)\}$ risulti una base di $T_{p}M$, dove $T_{p}M$ denota la fibra sopra p del fibrato tangente $TM$.

In queste ipotesi si dice che M è una varietà parallelizzabile, poiché ammette una parallelizzazione.

Esempi

• Ogni gruppo di Lie è una varietà parallelizzabile.
• Il prodotto di due o più varietà parallelizzabili è ancora una varietà parallelizzabile.
• Ogni spazio affine, considerato come varietà differenziabile, è parallelizzabile.

Proprietà

Proposizione. Una varietà $M$ è parallelizzabile se e solo se esiste un diffeomorfismo $\varphi :TM⟶M\times {ℝ}^n$ tale che la prima proiezione di $\varphi$ sia ${\tau }_M:TM⟶M$ e per ogni $p\in M$ il secondo fattore — ristretto a $T_{p}M$ — sia una applicazione lineare ${\varphi }_p:T_{p}M\to {ℝ}^n$.

In altre parole, $M$ è parallelizzabile se e solo ${\tau }_M:TM⟶M$ è un fibrato vettoriale banale. Per esempio sia $M$ un sottoinsieme aperto di ${ℝ}^n$, cioè una sottovarietà aperta di ${ℝ}^n$. Allora il fibrato tangente $TM$ è diffeomorfo a $M\times {ℝ}^n$, e la varietà $M$ è ovviamente parallelizzabile.

Bibliografia

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Voci correlate

• Fibrato
• Fibrato tangente
• Fibrato vettoriale
• Varietà differenziabile