Tavola degli integrali più comuni

In base al Primo teorema fondamentale del calcolo integrale, il calcolo di suddetti integrali tramite identificazione della primitiva viene effettuato attraverso algoritmi atti a far sì che la derivata del risultato coincida con la funzione integranda. Questa pagina contiene una tavola degli integrali più comuni. Queste formule sono equivalenti a quelle presentate nella tavola delle derivate. Per altri integrali vedi Integrale § Tavole di integrali.

Qui $C$ denota una costante arbitraria di integrazione che ha senso specificare solo in relazione a una specificazione del valore dell'integrale in qualche punto.

Regole per l'integrazione di funzioni generiche

Costante:

$\int af(x)\mathrm{d}x=a\int f(x)\mathrm{d}x$

Somma:

$\int [f(x)+g(x)]\mathrm{d}x=\int f(x)\mathrm{d}x+\int g(x)\mathrm{d}x$

Integrazione per parti:

$\int f(x)g^{\prime }(x)\mathrm{d}x=f(x)g(x)-\int f^{\prime }(x)g(x)\mathrm{d}x$

Funzioni razionali

$\int \mathrm{d}x=x+C$

$\int x^a\mathrm{d}x=\frac{x^{a+1}}{a+1}+C⟺a\ne -1$

$\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x=\ln \left|x\right|+C$

$\int \sqrt{x}\mathrm{d}x=\frac{2}{3}\sqrt{x^3}+C$

$\int \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}\mathrm{d}x=\ln |f(x)|+C$

$\int \frac{f^{\prime }(x)}{1+f^2(x)}\mathrm{d}x=\arctan f(x)+C$

$\int \frac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x=\arctan x+C$

$\int \frac{1}{a^2+x^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C$

$\int \frac{1}{a+b{x}^2}\mathrm{d}x=\frac{\arctan \frac{\sqrt{b}x}{\sqrt{a}}}{\sqrt{ab}}+C$

$\int \frac{1}{a{x}^2+bx+c}\mathrm{d}x=\frac{1}{\sqrt{b^2-4ac}}\ln \left|\frac{2ax+b-\sqrt{b^2-4ac}}{2ax+b+\sqrt{b^2-4ac}}\right|+C⟺b^2-4ac>0$

$\int \frac{1}{a{x}^2+bx+c}\mathrm{d}x=\frac{2}{\sqrt{4ac-b^2}}\arctan \left(\frac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}}\right)+C⟺b^2-4ac<0$

$\int \frac{x+c}{{(x+b)}^2+a^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\ln (x^2+2bx+a^2+b^2)+\frac{c-b}{a}\arctan \left(\frac{x+b}{a}\right)+C$

Logaritmi

$\int \ln x\mathrm{d}x=x\ln x-x+C$

$\int {\log }_{b}x\mathrm{d}x=x{\log }_{b}x-x{\log }_{b}e+C$

Funzioni esponenziali

$\int e^x\mathrm{d}x=e^x+C$

$\int e^{ax}\mathrm{d}x=\frac{e^{ax}}{a}+C$

$\int f^{\prime }(x)e^{f(x)}\mathrm{d}x=e^{f(x)}+C$

$\int a^x\mathrm{d}x=\frac{a^x}{\ln a}+C$

$\int a^{f(x)}{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x=\frac{a^{f(x)}}{\ln a}+C$

Funzioni irrazionali

$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x=\arcsin x+C$

$\int \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x=\arccos x+C$

$\int \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}\mathrm{d}x=\mathrm{arcsec}x+C$

$\int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\mathrm{d}x=\mathrm{settsinh}x+C$

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\mathrm{d}x=\mathrm{settcosh}x+C$

$\int \sqrt[]{a^2-x^2}\mathrm{d}x=\frac{a^2}{2}\arcsin \frac{x}{a}+\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+C$

$\int \sqrt[]{a^2+x^2}\mathrm{d}x=\frac{a^2}{2}\mathrm{settsinh}\frac{x}{a}+\frac{x}{2}\sqrt{a^2+x^2}+C$

Funzioni trigonometriche

$\int \cos x\mathrm{d}x=\sin x+C$

$\int \sin x\mathrm{d}x=-\cos x+C$

$\int f^{\prime }(x)\cos f(x)\mathrm{d}x=\sin f(x)+C$

$\int f^{\prime }(x)\sin f(x)\mathrm{d}x=-\cos f(x)+C$

$\int \tan x\mathrm{d}x=-\ln |\cos x|+C$

$\int \csc x\mathrm{d}x=-\ln |\csc x+\cot x|+C$

$\int \sec x\mathrm{d}x=\ln |\sec x+\tan x|+C$

$\int \cot x\mathrm{d}x=\ln |\sin x|+C$

$\int {\sec }^{2}x\mathrm{d}x=\tan x+C$

$\int {\csc }^{2}x\mathrm{d}x=-\cot x+C$

$\int {\sin }^{2}x\mathrm{d}x=\frac{1}{2}(x-\sin x\cos x)+C$

$\int {\cos }^{2}x\mathrm{d}x=\frac{1}{2}(x+\sin x\cos x)+C$

$\int \cos (ax)\mathrm{d}x=\frac{1}{a}\sin (ax)+C$

$\int \sin (ax)\mathrm{d}x=-\frac{1}{a}\cos (ax)+C$

Funzioni iperboliche

$\int \sinh x\mathrm{d}x=\cosh x+C$

$\int \cosh x\mathrm{d}x=\sinh x+C$

$\int \tanh x\mathrm{d}x=\ln (\cosh x)+C$

$\int \text{csch}x\mathrm{d}x=\ln |\tanh \frac{x}{2}|+C$

$\int \text{sech}x\mathrm{d}x=\arctan (\sinh x)+C$

$\int \coth x\mathrm{d}x=\ln |\sinh x|+C$

$\int \mathrm{settcosh}x\mathrm{d}x=x\mathrm{settcosh}x-\sqrt{x^2-1}+C$

$\int \mathrm{settsinh}x\mathrm{d}x=x\mathrm{settsinh}x-\sqrt{x^2+1}+C$

$\int \mathrm{setttanh}x\mathrm{d}x=x\mathrm{setttanh}x+\frac{\log (1-x^2)}{2}+C$

Voci correlate

• Integrale

Collegamenti esterni

• Template:Cita web
• Integrali definiti e indefiniti (Interactive Multipurpose Server) (WIMS)