Osservabilità

Nella teoria del controllo, la proprietà di osservabilità di un sistema dinamico determina la possibilità di risalire allo stato del sistema a partire dalla conoscenza delle sue uscite. Osservabilità e controllabilità sono generalmente due caratteristiche legate fra loro; in particolare, nei sistemi dinamici lineari stazionari sono matematicamente duali.

Sistemi dinamici lineari

Un sistema si dice osservabile se, per qualunque combinazione possibile di stati e ingressi, lo stato corrente può essere determinato in tempo finito attraverso le uscite del sistema. In altri termini, se un sistema è completamente osservabile significa che lo spazio delle fasi è sufficientemente grande da contenere tutti gli stati possibili.

Per i sistemi dinamici lineari tempo invarianti:

$\dot{𝐱}(t)=A𝐱(t)+B𝐮(t)$

$𝐲(t)=C𝐱(t)$

se lo stato $𝐱$ ha dimensione $n$ ed il rango della matrice di osservabilità:

$\left[\begin{array}{c}C\\ CA\\ C{A}^2\\ ⋮\\ C{A}^{n-1}\end{array}\right]$

è pieno, ovvero uguale a $n$, il sistema è osservabile. Si nota che, in altri termini, se $n$ righe sono linearmente indipendenti allora ognuno degli $n$ stati è osservabile attraverso combinazioni lineari delle variabili di uscita $y(k)$. Un modulo progettato per misurare lo stato di un sistema dalla misurazione delle uscite viene chiamato un osservatore di stato o semplicemente "osservatore" per quel sistema.

Si definisce inoltre l'indice di osservabilità di un sistema LTI come il più piccolo numero naturale $v$ per cui vale $rank(O_v)=rank(O_{v+1})$, dove:

$O_v=[CCAC{A}^2\dots C{A}^{v-1}{]}^T$

Per i sistemi LTI osservabilità e controllabilità sono proprietà duali; nello specifico si definisce il sistema duale:

$\dot{𝐱}(t)=A^T𝐱(t)+C^T𝐮(t)$

$𝐲(t)=B^T𝐱(t)$

e si verifica che il sistema originale è completamente osservabile se e solo se il sistema duale è completamente controllabile, ed è completamente controllabile se e solo se il sistema duale è completamente osservabile.

Bibliografia

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Voci correlate

• Controllabilità
• Sistema dinamico
• Sistema dinamico lineare
• Sistema dinamico lineare stazionario
• Matrice gramiana di osservabilità

Collegamenti esterni

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