Identità vettoriali

Template:F Qui di seguito verranno presentate alcune identità vettoriali, cioè delle uguaglianze riguardanti campi vettoriali e campi scalari che risultano verificate indipendentemente dalle variabili scelte.

Queste relazioni risultano utili nei problemi di calcolo vettoriale, ad esempio nella derivazione delle onde elettromagnetiche a partire dalle equazioni di Maxwell.

Nel testo indicheremo con f, g i campi scalari e con A, B, C i campi vettoriali.

Identità vettoriali generiche

Triplo prodotto

$𝐀\times (𝐁\times 𝐂)=𝐁(𝐀\cdot 𝐂)-𝐂(𝐀\cdot 𝐁)$

$𝐀\cdot (𝐁\times 𝐂)=𝐁\cdot (𝐂\times 𝐀)=𝐂\cdot (𝐀\times 𝐁)$

da cui si ha

$(𝐀\times 𝐁)\cdot (𝐂\times 𝐃)=(𝐀\cdot 𝐂)(𝐁\cdot 𝐃)-(𝐀\cdot 𝐃)(𝐁\cdot 𝐂)$

ed in particolare

$|𝐀\times 𝐁{|}^2=|𝐀{|}^2|𝐁{|}^2-(𝐀\cdot 𝐁{)}^2$

Proprietà degli operatori vettoriali

Proprietà distributiva

$\mathrm{\nabla }(f+g)=\mathrm{\nabla }f+\mathrm{\nabla }g$

$\mathrm{\nabla }\cdot (𝐀+𝐁)=\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀+\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁$

$\mathrm{\nabla }\times (𝐀+𝐁)=\mathrm{\nabla }\times 𝐀+\mathrm{\nabla }\times 𝐁$

Proprietà del prodotto scalare

$\mathrm{\nabla }(𝐀\cdot 𝐁)=(𝐀\cdot \mathrm{\nabla })𝐁+(𝐁\cdot \mathrm{\nabla })𝐀+𝐀\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐁)+𝐁\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐀)$

Proprietà del prodotto vettoriale

$\mathrm{\nabla }\cdot (𝐀\times 𝐁)=𝐁\cdot \mathrm{\nabla }\times 𝐀-𝐀\cdot \mathrm{\nabla }\times 𝐁$

$\mathrm{\nabla }\times (𝐀\times 𝐁)=𝐀(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁)-𝐁(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀)+(𝐁\cdot \mathrm{\nabla })𝐀-(𝐀\cdot \mathrm{\nabla })𝐁$

Prodotto tra scalari e vettori

$\mathrm{\nabla }(fg)=f\mathrm{\nabla }g+g\mathrm{\nabla }f$

$\mathrm{\nabla }\cdot (f𝐀)=\mathrm{\nabla }f\cdot 𝐀+f\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀$

$\mathrm{\nabla }\times (f𝐀)=\mathrm{\nabla }f\times 𝐀+f\mathrm{\nabla }\times 𝐀$

Combinazione di operatori vettoriali

Divergenza del gradiente

$\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }f={\mathrm{\nabla }}^{2}f=\sum _{i=1}^n\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_i^2}.$

L'operatore ${\mathrm{\nabla }}^2$ viene detto operatore di Laplace (o laplaciano) e viene anche indicato con $\mathrm{\Delta }$.

Rotore del gradiente

$\mathrm{\nabla }\times \mathrm{\nabla }f=0$

Divergenza del rotore

$\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }\times 𝐀=0$

Rotore del rotore

$\mathrm{\nabla }\times \left(\mathrm{\nabla }\mathbf{\times }𝐅\right)=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\mathbf{\cdot }𝐅)-{\mathrm{\nabla }}^2𝐅$

dove ${\mathrm{\nabla }}^2$ indica il laplaciano vettoriale.

Altre identità

$\frac{1}{2}\mathrm{\nabla }{𝐀}^2=𝐀\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐀)+(𝐀\cdot \mathrm{\nabla })𝐀$

Voci correlate

• Calcolo vettoriale
• Divergenza
• Gradiente
• Rotore (matematica)
• Teorema del rotore
• Teorema della divergenza