Identità di Eulero

La funzione esponenziale e^z può essere definita come il limite di Template:Nowrap per N che tende a infinito. Pertanto, e^iπ è il limite di Template:Nowrap. In questa animazione, N assume valori crescenti da 1 a 100. Il calcolo di Template:Nowrap è visualizzato come l'effetto dell'iterazione di N moltiplicazioni nel piano complesso, con l'ultimo puntino che rappresenta il valore effettivo di Template:Nowrap. Si può osservare, all'aumentare di N, il tendere di Template:Nowrap al limite −1.

In matematica, lTemplate:'identità di Eulero è il caso particolare della formula di Eulero in cui la variabile è uguale a pi greco.

L'identità

L'identità di Eulero è la seguente uguaglianza:

$e^{i\pi }+1=0$

dove:

$1$ e $0$ sono gli elementi neutri rispettivamente del prodotto e della somma,

$e$ è il numero di Nepero, base dei logaritmi naturali,

$i$ è l'unità immaginaria, il numero complesso il cui quadrato è $-1$, e

$\pi$ è pi greco, il rapporto fra la lunghezza di una circonferenza e il suo diametro.

L'identità è talvolta espressa equivalentemente come:

$e^{i\pi }=-1.$

Nella prima formulazione si rende esplicita la relazione fra le cinque costanti matematiche in essa contenute.

Storia e significato

L'equazione, contrariamente a quanto si legge usualmente, non compare nellTemplate:'Introductio in analysis infinitorum, il primo trattato sul calcolo infinitesimale di Eulero, pubblicato a Losanna nel 1748. In realtà, non è noto chi per primo abbia scritto esplicitamente la relazione, sebbene la formula di Eulero, oggi pertinente all'analisi complessa, fosse assai nota nel Settecento: i matematici Roger Cotes e Abraham de Moivre l'avevano dimostrata in maniera indipendente e con procedimenti diversi. Tale formula si può scrivere come segue:

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

per ogni numero reale $x$, essendo cos la funzione coseno e sin la funzione seno. L'identità di Eulero può essere ricavata come caso particolare di questa relazione: se infatti $x=\pi$, allora

$e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi ,$

e poiché

$\cos \pi =-1,$

e

$\sin \pi =0,$

segue che

$e^{i\pi }=-1.$

Percezione dell'identità

Template:Vedi anche Benjamin Peirce, il noto matematico e professore di Harvard del XIX secolo, dopo aver dimostrato l'identità in una lezione, disse: "Signori, posso dirlo con certezza, è assolutamente paradossale; non possiamo capirla, e non sappiamo che cosa significa. Ma l'abbiamo dimostrata, e quindi sappiamo che deve essere la verità." Richard Feynman chiamò la formula di Eulero (dalla quale l'identità è stata derivata) "la formula più straordinaria in matematica". Feynman, come molti altri, trovò questa formula notevole perché collega alcune costanti matematiche molto importanti:

• Il numero $0$, l'elemento neutro per l'addizione (per ogni $a$, $a+0=0+a=a$).
• Il numero $1$, l'elemento neutro per la moltiplicazione (per ogni $a$, $a\times 1=1\times a=a$).
• Il numero $\pi$ è fondamentale nella trigonometria; $\pi$ è una costante per un mondo che è euclideo, o per le piccole scale in una geometria non euclidea (altrimenti, il rapporto fra la lunghezza della circonferenza di un cerchio e il suo diametro non sarebbe una costante universale, cioè la stessa per tutte le circonferenze).
• Il numero $e$ è una costante fondamentale (detta anche numero di Nepero) connessa allo studio dei logaritmi in analisi (come lo studio delle equazioni differenziali, ad esempio la soluzione della equazione differenziale $dy/dx=y$ con condizione iniziale $y(0)=1$ è $y=e^x$).
• L'unità immaginaria $i$ (dove $i^2=-1$) è una unità nei numeri complessi. L'introduzione di questa unità rende risolvibili nel campo dei numeri complessi tutte le equazioni polinomiali non costanti.
• La formula contiene una potenza irrazionale (il numero irrazionale neperiano $e$, elevato ad un esponente che contiene il fattore irrazionale $\pi$), rara nelle formule matematiche, e collega numeri irrazionali reali ($e$), irrazionali immaginari ($i\cdot \pi$), e interi ($1$).

Inoltre, tutti gli operatori fondamentali dell'aritmetica sono presenti: uguaglianza, addizione, moltiplicazione e esponenziazione. Tutte le assunzioni fondamentali dell'analisi complessa sono presenti, e gli interi $0$ e $1$ sono collegati al campo dei numeri complessi.

Bibliografia

• Richard P. Feynman, The Feynman Lectures on Physics, vol. I Addison-Wesley (1977), ISBN 0-201-02010-6
• Eli Maor, e: The Story of a number, Princeton University Press (May 4, 1998), ISBN 0-691-05854-7
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Collegamenti esterni

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• Formula e identità di Eulero Formula e identità di Eulero, potenze e logaritmi complessi. Lezione interattiva.