Anarmonicità

L'anarmonicità rappresenta la deviazione di un sistema oscillante rispetto al modello dell'oscillatore armonico, ed è calcolabile facendo ricorso alla teoria perturbativa nel caso di basse anarmonicità o ad altre tecniche numeriche se essa è consistente. Nell'oscillatore anarmonico è possibile osservare multipli della frequenza fondamentale dell'oscillatore ${\omega }_A$ che differisce dalla ${\omega }_N$ del moto armonico in prima approssimazione proporzionalmente al quadrato della ampiezza di oscillazione A:

$\mathrm{\Delta }{\omega }_A={\omega }_A-{\omega }_N$

$\mathrm{\Delta }{\omega }_A\propto A^2$.

Perciò risulta il manifestarsi di oscillazioni con le frequenze delle armoniche superiori $2{\omega }_A$ e $3{\omega }_A$ ecc., dove ${\omega }_A$ è la frequenza fondamentale dell'oscillatore. Inoltre, la frequenza ${\omega }_A$ devia dalla frequenza naturale ${\omega }_N$.

In un sistema di oscillatori con modi normali ${\omega }_{\alpha }$, ${\omega }_{\beta }$, ... l'anarmonicità si risolve in oscillazioni addizionali con frequenze ${\omega }_{\alpha }\pm {\omega }_{\beta }$.

L'anarmonicità modifica anche il profilo della curva di risonanza, portando ad interessanti fenomeni come la risonanza nonlineare e la risonanza superarmonica.

Principio generale

In generale, l'oscillatore armonico è un sistema dinamico altamente idealizzato che oscilla con una singola frequenza, indipendentemente della quantità di energia cedutagli dall'esterno. Conseguentemente, la frequenza fondamentale dell'oscillatore armonico è indipendente dall'ampiezza delle vibrazioni. In un oscillatore anarmonico accade il contrario: la relazione dinamica tra forza e spostamento non è più lineare ma dipende dall'ampiezza dell'oscillazione, e quindi anche la frequenza può dipendervi. Questi cambiamenti risultano in un accoppiamento parametrico dell'energia ad altre frequenze.

Esempi fisici

Ci sono molti sistemi nel mondo fisico: a livello meccanico la nonlinearità sorge già nel caso più semplice nel pendolo matematico per angoli crescenti, che tende peraltro a esibire comportamenti caotici; come anche in una molla in snervamento o il cui peso non è rigido. In effetti la nonlinearità sopraggiunge quando l'ampiezza oltrepassa valori-soglia.

Esempi fuori dalla meccanica sono semiconduttori non in equilibrio che posseggono una popolazione calda abbastanza grande e che tendono ad esibire oscillazioni anarmoniche legate alla massa effettive delle cariche, così come plasmi ionosferici. Un atomo la sperimenta uno sdoppiamento tra centro di massa del nucleo atomico e la nube elettronica sotto l'applicazione di un campo elettrico: si genera un dipolo elettrico che si comporta come oscillatore, e per intensità di campo crescenti perde la sua linearità come un sistema meccanico. L'anarmonicità gioca anche un ruolo importante nei reticoli cristallini, nelle vibrazioni quantistiche molecolari [1], e in acustica.

Metodo di Weierstrass

Si consideri un potenziale unidimensionale $U(x)$ supposto simmetrico rispetto all'asse $U$, la forma della curva può essere implicitamente determinata a partire dal periodo $T(E)$ delle oscillazioni con energia totale $E$ secondo l'equazione:

$x(U)=\frac{1}{2\pi \sqrt{2m}}\underset{0}{\overset{U}{\int }}\frac{T(E)dE}{\sqrt{U-E}}$

Bibliografia

• Lev Davidovič Landau, Evgenij Mikhailovič Lifšic, Corso di fisica teorica. Meccanica, Editori Riuniti
• Filipponi Adriano, Cavicchia Demetrio Roberto, Anharmonic dynamics of a mass O-spring oscillator (2011), American Journal of Physics, Volume 79, Issue 7, pp. 730, [2]

Voci correlate

• Oscillatore armonico
• Oscillatore parametrico
• Problema di Fermi–Pasta–Ulam–Tsingou
• Risonanza (fisica)

Collegamenti esterni

• Template:En Nonlinear Oscillations, Franz-Josef Elmer, Università di Basilea