Ampiezza di probabilità

In meccanica quantistica, l'ampiezza di probabilità è una funzione complessa il cui modulo quadro rappresenta la funzione densità di probabilità. Ad ogni particella è associata una ampiezza di probabilità che descrive la sua posizione, in accordo con il principio di indeterminazione di Heisenberg: essa coincide con la funzione d'onda in tal punto.

Per una funzione d'onda $\psi$ la funzione di densità di probabilità associata è $\psi \cdot \psi$, che equivale a $|\psi {|}^2$. Questa è talvolta definita semplicemente densità di probabilità e può essere normalizzata o non normalizzata.

Descrizione

Se $|\psi {|}^2$possiede un integrale finito all'interno dello spazio tridimensionale, è quindi possibile scegliere una costante di normalizzazione $c$ tale che rimpiazzando $\psi$ con $c\psi$ l'integrale assume valore unitario. Quindi la probabilità che una particella si trovi all'interno di una particolare regione $V$ dell'universo è data dall'integrale esteso in $V$ di $|\psi {|}^2$. Il che significa, secondo l'interpretazione di Copenaghen della meccanica quantistica, che se qualche osservatore prova a misurare la quantità associata a questa ampiezza di probabilità, il risultato di questa misura rientrerà all'interno di $\epsilon$ con una probabilità $P(\epsilon )$ data da:

$P(\epsilon )=\underset{\epsilon }{\overset{}{\int }}|\psi (x){|}^{2}dx.$

Ampiezze di probabilità che non sono quadrati integrabili sono solitamente assunte come il limite di una serie di funzioni che sono a quadrato integrabile. Il cambiamento della probabilità in funzione del tempo viene espresso in termini di $\psi$ stesso, non in termini di funzione di probabilità $|\psi {|}^2$. A tal proposito si rimanda all'equazione di Schrödinger.

Variazione nel tempo

Template:Vedi anche Per descrivere il cambiamento nel tempo della densità di probabilità occorre definire la corrente di probabilità (o flusso di probabilità) j:

$𝐣=\frac{\hslash }{m}\cdot \frac{1}{2i}({\psi }^{*}\mathrm{\nabla }\psi -\psi \mathrm{\nabla }{\psi }^{*})=\frac{\hslash }{m}\mathrm{Im}\left({\psi }^{*}\mathrm{\nabla }\psi \right)=\mathrm{R}\mathrm{e}\left({\psi }^{*}\frac{\hslash }{im}\mathrm{\nabla }\psi \right)$

e misurato in unità (probabilità)/(area × tempo) = $r^{-2}$ $t^{-1}$.

Il flusso di probabilità soddisfa una equazione di continuità quantistica, ad esempio:

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐣+\frac{\partial }{\partial t}P(\overrightarrow{x},t)=0$

dove $P(x,t)$ è la funzione densità di probabilità ed è misurata in unità (probabilità)/(volume) = $r^{-3}$. Questa equazione è l'equivalente matematico della legge di conservazione della probabilità.

Per un'onda piana si dimostra facilmente che

$⟨x|\psi ⟩=A\exp (ikx-i\omega t)$

con flusso di probabilità dato da

$j(x,t)=|A{|}^2\frac{k\hslash }{m}.$