Teorema di scomposizione

Il teorema di scomposizione, anche detto teorema di Pellegrini, è un teorema delle reti lineari che permette di trasformare una generica rete N in un'altra N' che ne renda più semplice l'analisi e che evidenzi le sue proprietà principali.

Enunciato

Generica rete lineare N.

Rete lineare equivalente N'.

Implementazione del circuito a tre terminali per mezzo di un generatore indipendente W_r e un'immittenza X_p.

Siano e, h, u, w, q=q', e t=t' sei nodi arbitrari della rete N e sia $S$ un generatore indipendente di tensione o corrente posizionato tra e e h, mentre $U$ è la grandezza di uscita, sia essa una tensione o una corrente, relativa al ramo di immittenza $X_u$ connesso tra u e w. Venga adesso tagliata la connessione qq' e venga inserito un circuito a tre terminali ("TTC") tra i due nodi q e q' e il nodo t=t' come nella figura b ($W_r$ e $W_p$ sono quantità omogenee, tensioni o correnti, relative alle porte qt e q't=q't' del TTC).

Affinché le due reti N e N' siano equivalenti per ogni $S$, devono valere i due vincoli $W_r=W_p$ e $\overline{W_r}=\overline{W_p}$, dove la barra sopra la lettera indica la quantità duale.

Il circuito a tre terminali sopracitato si può implementare, ad esempio, connettendo un generatore ideale indipendente di tensione o corrente $W_p$ tra q' e t' , e un'immittenza $X_p$ tra q e t.

Funzioni di rete

Con riferimento alla rete N', si definiscono le seguenti funzioni di rete:

$A\equiv \frac{U}{W_p}{|}_{S=0}$  ; $\beta \equiv \frac{W_r}{U}{|}_{S=0}$  ; $X_i\equiv \frac{W_p}{\overline{W_p}}{|}_{S=0}$

$\gamma \equiv \frac{U}{S}{|}_{W_p=0}$ ; $\alpha \equiv \frac{W_r}{S}{|}_{W_p=0}$ ; $\rho \equiv \frac{\overline{W_p}}{S}{|}_{W_p=0}$

dalle quali, per il principio di sovrapposizione degli effetti, si ha:

$W_r=\alpha S+\beta A{W}_p$

$\overline{W_p}=\rho S+\frac{W_p}{X_i}$.

Pertanto, il primo vincolo per l'equivalenza delle reti è soddisfatto se $W_p=\frac{\alpha }{1-\beta A}S$.

Inoltre,

$\overline{W_r}=\frac{W_r}{X_p}$

$\overline{W_p}=(\frac{1}{X_i}+\frac{\rho }{\alpha }(1-\beta A))W_r$

quindi il secondo vincolo per l'equivalenza delle reti vale se $\frac{1}{X_p}=\frac{1}{X_i}+\frac{\rho }{\alpha }(1-\beta A)$

Funzione di trasferimento

Considerando l'espressione delle funzioni di rete $\gamma$ e $A$, il primo vincolo per l'equivalenza delle reti, e che, per il principio di sovrapposizione degli effetti, $U=\gamma S+A{W}_p$, la funzione di trasferimento $A_f\equiv \frac{U}{S}$ è data da

$A_f=\frac{\alpha A}{1-\beta A}+\gamma$.

Nel caso in cui il circuito in esame sia un amplificatore reazionato, le funzioni di rete $\alpha$, $\gamma$ e $\rho$ tengono conto delle non idealità di tale amplificatore. In particolare:

• $\alpha$ tiene conto della non idealità della rete di confronto in ingresso
• $\gamma$ tiene conto della non unidirezionalità della catena di reazione
• $\rho$ tiene conto della non unidirezionalità della catena di amplificazione.

Se possiamo considerare ideale tale amplificatore, ovvero se $\alpha =1$, $\rho =0$ e $\gamma =0$, la funzione di trasferimento si riduce alla nota espressione derivante dalla teoria classica della reazione:

$A_f=\frac{A}{1-\beta A}$.

Calcolo dell'impedenza e dell'ammettenza tra due nodi

Tramite il teorema di scomposizione il calcolo dell'impedenza (o dell'ammettenza) tra due nodi risulta abbastanza semplificato.

Impedenza

Taglio per il calcolo dell'impedenza tra i nodi k=h e j=e=q.

Inseriamo un generico generatore $S$ tra i nodi j=e=q e k=h tra i quali vogliamo calcolare l'impedenza $Z$. Effettuando un taglio come in figura, notiamo che l'immittenza $X_p$ risulta in serie con $S$ ed è percorsa dalla stessa corrente erogata da $S$. Se scegliamo una sorgente di tensione in ingresso $V_s=S$ e, come conseguenza, una corrente $I_s=\overline{S}$, e un'impedenza $Z_p=X_p$, possiamo fare le seguenti considerazioni:

$Z=\frac{V_s}{I_s}=\frac{V_s}{I_r}=Z_p\frac{V_s}{V_r}=Z_p\frac{V_s}{V_p}=Z_p\frac{1-\beta A}{\alpha }$.

Considerando che $\alpha =\frac{V_r}{V_s}{|}_{V_p=0}=\frac{Z_p}{Z_p+Z_b}$, dove $Z_b$ è l'impedenza vista tra i nodi k=h e t togliendo $Z_p$ e cortocircuitando i generatori di tensione presenti, si ottiene l'impedenza $Z$ tra i nodi j e k nella forma:

$Z=(Z_p+Z_b)(1-\beta A)$

Ammettenza

Taglio per il calcolo dell'ammettenza tra i nodi k=h=t e j=e=q.

Si procede in maniera analoga alla precedente, solo che stavolta si effettua un taglio come nella figura a lato, notando che $S$ risulta ora in parallelo a $X_p$. Considerando un generatore di corrente in ingresso $I_s=S$ (conseguentemente si ha una tensione $V_s=\overline{S}$) e un'ammettenza $Y_p=X_p$, l'ammettenza $Y$ tra i nodi j e k si calcola come segue:

$Y=\frac{I_s}{V_s}=\frac{I_s}{V_r}=Y_p\frac{I_s}{I_r}=Y_p\frac{I_s}{I_p}=Y_p\frac{1-\beta A}{\alpha }$.

Considerando che $\alpha =\frac{I_r}{I_s}{|}_{I_p=0}=\frac{Y_p}{Y_p+Y_b}$, dove $Y_b$ è l'ammettenza vista tra i nodi k=h e t togliendo $Y_p$ e aprendo i generatori di corrente presenti, si ottiene l'ammettenza $Y$ nella forma:

$Y=(Y_p+Y_b)(1-\beta A)$

Osservazioni

Implementazione del circuito a tre terminali per mezzo di un generatore indipendente $W_p$ e uno dipendente $\overline{W_p}$

La realizzazione del TTC mediante una generatore indipendente $W_p$ e una immittenza $X_p$ è utile e intuitiva per il calcolo della immittenza $X$ tra due nodi ma presenta, come per le altre funzioni di rete, la difficoltà del calcolo di $X_p$ dalla equazione di equivalenza che si può evitare con l'uso di un generatore dipendente $\overline{W_p}$ in luogo di $X_p$ e impiegando, per quanto riguarda $X$, la formula di Blackman. Tale realizzazione del TTC, come esempio eclatante di reazione, consente anche di considerare in reazione una rete costituita da un generatore di tensione e due impedenze in serie.

Bibliografia

• B. Pellegrini, Considerations on the Feedback Theory, Alta Frequenza 41, 825 (1972).
• B. Pellegrini, Improved Feedback Theory, IEEE Transactions on Circuits and Systems 56, 1949 (2009).

Voci correlate

• Retroazione
• Controllo automatico