Arg max

In matematica, gli argomenti del massimo (abbreviato come arg max) sono i punti di un dato argomento per i quali una data funzione raggiunge il suo massimo:

Definizione

Dato un insieme di punti $X$, l'argomento del massimo è dato da

$\underset{x\in X}{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}f(x):=\{x|\mathrm{\forall }y:f(y)\le f(x)\}.$

In altre parole, è l'insieme dei valori di $x$ per i quali $f(x)$ raggiunge il suo più alto valore $M$. Per esempio, se $f(x)$ è $1-|x|$, raggiungerà il suo valore massimo $1$ per $x=0$ e solo in quel punto, quindi

$\underset{x}{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}(1-|x|)=\{0\}$.

Equivalentemente, se $M$ è il massimo di $f$, allora l'arg max è l'insieme di livello del suo massimo:

$\underset{x}{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}f(x)=f^{-1}(M)=\{x|f(x)=M\}.$

Se il massimo è raggiunto per un singolo valore, allora ci si riferisce a tale punto come il massimo argomento, cioè si definisce l'arg max come un punto, non un insieme di punti. Così, per esempio,

$\underset{x\in ℝ}{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}(x(10-x))=5,$

(piuttosto che il singoletto $\{5\}$), poiché il valore massimo di $x(10-x)$ è $25$, il quale si ottiene per $x=5$.

Tuttavia, nel caso in cui il massimo fosse raggiunto in molti valori, arg max è un insieme di punti.

Quindi, si ha per esempio

$\underset{x\in [0,4\pi ]}{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\cos (x)=\{0,2\pi ,4\pi \},$

poiché il valore massimo di $\cos (x)$ è $1$, il quale si ottiene per $x=0$, $2\pi$ o $4\pi$. Sull'intera retta reale, l'arg max è $\{2k\pi \}$, con $k\in \mathbb{Z}$.

Si noti inoltre che le funzioni, in generale, non raggiungono un valore massimo, e quindi in generale non hanno un massimo argomento: ${\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}_{x\in ℝ}x$ non è definito, così $x$ è illimitato sulla retta reale. Tuttavia, per il teorema di Weierstrass (o per le proprietà degli spazi compatti), una funzione continua su un compatto ammette massimo, e quindi un arg max.

Argomento del minimo

Similmente arg min sta per argomento del minimo, ed è definito in modo del tutto analogo. Per esempio,

$\underset{x}{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}f(x):=\{x|\mathrm{\forall }y:f(y)\ge f(x)\}.$

sono i valori di $x$ per i quali $f(x)$ raggiunge il suo valore minimo.

Proprietà

• $\arg \underset{x}{\max }\{-f(x)\}=\arg \underset{x}{\min }f(x)$.
• Invarianza rispetto alle costanti additive: $\arg \underset{x}{\max }\{f(x)+a\}=\arg \underset{x}{\max }f(x)$ per ogni $a\in ℝ$.
• Invarianza rispetto alle costanti moltiplicative positive: $\arg \underset{x}{\max }\{cf(x)\}=\arg \underset{x}{\max }\{f(x)\}$ per ogni $c>0$.
• Più in generale, se $g$ è una funzione continua strettamente monotona e $g(f(x))$ è ben definita, allora

$\arg \underset{x}{\max }\{g(f(x))\}=\arg \underset{x}{\max }\{f(x)\}.$

Voci correlate

• Massimo e minimo di una funzione
• Moda (statistica)
• Ottimizzazione (matematica)