Classe limite

In analisi matematica, la classe limite è un concetto legato a quello di sottosuccessione e limite di una successione. Si tratta dell'insieme dei valori cui è possibile far tendere una sottosuccessione di una data successione, e come tale può essere di cardinalità finita o infinita, ma non l'insieme vuoto.

Definizione

Sia $\{x_n{\}}_n$ una successione di numeri reali; si dice che $\alpha$ è un valore limite della successione se esiste una sottosuccessione $\{x_{n_k}{\}}_k$ per cui

$\underset{k\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{x}_{n_k}=\alpha$.

Non è necessario che la successione sia regolare (cioè convergente o divergente); infatti anche una successione irregolare ammette sempre sottosuccessioni regolari.

La classe limite della successione è l'insieme dei valori limite; cioè, se $C$ indica la classe limite di $\{x_n{\}}_n$:

$C=\{\alpha \in ℝ:\mathrm{\exists }\{x_{n_k}{\}}_k\underset{k\to +\mathrm{\infty }}{⟶\alpha }\}$.

Esempi

• $x_n=\sin \frac{n\pi }{2}$;

In questo caso $C=\{-1,0,1\}$; infatti $\{x_n{\}}_{n\ge 0}=\{0,1,0,-1,\cdots \}$, quindi una sottosuccessione può constare solo dei valori $0,1,-1$; le sottosuccessioni banali del tipo $\{x_{2n}{\}}_n=\{0,0,0,\cdots \},\{x_{4n+1}\}=\{1,1,1,\cdots \},\{x_{4n-1}\}=\{-1,-1,-1,\cdots \}$, ad esempio, ammettono come valori limite $0,1,-1$ rispettivamente.

• $x_n=n\sin \frac{n\pi }{2}$;

In questo caso $C=\{-\mathrm{\infty },0,+\mathrm{\infty }\}$; infatti $\{x_n{\}}_{n\ge 0}=\{0,1,0,-2,0,3,\cdots \}$, e una sottosuccessione deve valere definitivamente zero o in alternativa non essere limitata.

Proprietà

La classe limite di una successione non è mai vuota. Infatti, se $\{x_n{\}}_n$ è limitata, allora la sua chiusura è compatta, e quindi la successione ammette una sottosuccessione convergente (teorema di Bolzano-Weierstrass). Se invece non è limitata superiormente (o inferiormente), si può trovare una sottosuccessione del tipo $\{x_j{\}}_j$ con

$x_j=\underset{i<j}{\max }{x}_i$

(o

$x_j=\underset{i<j}{\min }{x}_i$)

che ammette come limite $+\mathrm{\infty }$ (o $-\mathrm{\infty }$).

L'intersezione tra la classe limite e l'insieme dei numeri reali (cioè la classe limite cui sono stati tolti eventualmente i punti all'infinito) è un insieme chiuso. Infatti, se $\alpha \in ℝ$ è di accumulazione per $C\cap ℝ$, allora esistono ${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n,\cdots$ che avvicinano indefinitamente $\alpha$; questi ${\alpha }_i$ sono limiti di sottosuccessioni di $\{x_n\}$, quindi possiamo trovare una sottosuccessione che si avvicina indefinitamente ad $\alpha$, usando come "paletti" i valori limite ${\alpha }_i$ (cui possiamo avvicinarci a piacere per sottosuccessioni).

Inoltre la classe limite, intesa come sottoinsieme di $\overline{ℝ}:=ℝ\cup \{-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }\}$ (il cosiddetto $ℝ$ esteso) ammette sempre massimo e minimo; infatti, se $\{x_n\}$ è illimitata (ad esempio superiormente), allora $+\mathrm{\infty }\in C$, e $\max C=+\mathrm{\infty }$; altrimenti, se $\{x_n\}$ è limitata (ad esempio superiormente), allora lo è anche $C$ (o esisterebbe un valore limite strettamente maggiore dell'estremo superiore della successione), e poiché $C\cap ℝ$ è chiuso, esso contiene il proprio superiore, e quindi ammette massimo. Un analogo ragionamento prova che la classe limite ammette minimo.

Limite superiore e limite inferiore

Data una successione, si definisce limite superiore di tale successione il massimo della sua classe limite:

$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{x}_n=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}{x}_n:=\max C$;

similmente si definisce il limite inferiore di tale successione il minimo della sua classe limite:

$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{x}_n=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\underset{\_}{\lim }}{x}_n:=\min C$.

È chiaro, per le argomentazioni del paragrafo precedente, che tali valori esistono sempre. In generale, essi saranno differenti (ovviamente si avrà $\mathrm{lim\; inf}{x}_n\le \mathrm{lim\; sup}{x}_n$); se tuttavia questi valori coincidono, se cioè la classe limite consta di un solo elemento, allora tutte le sottosuccessioni convergono allo stesso valore limite. Questa è condizione necessaria e sufficiente per garantire la convergenza della successione principale, cioè:

$\mathrm{\exists }\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n\in \overline{ℝ}⟺\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{x}_n=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{x}_n⟺|C|=1$,

dove $|\cdot |$ indica la cardinalità dell'insieme.

Bibliografia

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Voci correlate

• Successione (matematica)
• Sottosuccessione
• Limite di una successione
• Limite superiore e limite inferiore