Distribuzione congiunta

Template:F In probabilità, date due variabili aleatorie X e Y, definite sullo stesso spazio di probabilità, si definisce la loro distribuzione congiunta come la distribuzione di probabilità associata al vettore $(X,Y)$. Nel caso di due sole variabili, si parla di distribuzione bivariata, mentre nel caso di più variabili si parla di distribuzione multivariata.

Funzione di ripartizione

La funzione di ripartizione di una distribuzione congiunta è definita come

$F(x,y)=P(X\le x,Y\le y).$

o più generalmente

$F(x_1,...,x_n)=P(X_1\le x_1,...,X_n\le x_n).$

Funzione di densità

Caso discreto

Nel caso di variabili aleatorie discrete, la densità discreta congiunta (o funzione di massa di probabilità congiunta) è data da

$p_{X,Y}(x_i,y_j)=\mathrm{P}(X=x_i,Y=y_j)=\mathrm{P}(Y=y_j\mid X=x_i)\cdot \mathrm{P}(X=x_i)=\mathrm{P}(X=x_i\mid Y=y_j)\cdot \mathrm{P}(Y=y_j)$

Siccome la densità congiunta è anch'essa una densità, è soddisfatta la seguente equazione:

$\sum _x\sum _y\mathrm{P}(X=x,Y=y)=1.$

È possibile ottenere le densità marginali dalla densità congiunta in questo modo: $p_X(x_i)={\mathrm{\Sigma }}_{j}p(x_i,y_j)$e $p_Y(y_i)={\mathrm{\Sigma }}_{j}p(x_j,y_i)$

Caso continuo

Nel caso di variabili aleatorie continue, la densità congiunta è data da

$f_{X,Y}(x,y)=f_{Y|X}(y|x)f_X(x)=f_{X|Y}(x|y)f_Y(y)$

dove f_Y|X(y|x) e f_X|Y(x|y) sono le distribuzioni condizionate di Y dato X=x e di X dato Y=y, mentre f_X(x) e f_Y(y) sono le distribuzioni marginali della densità congiunta, rispettivamente per X e Y. Anche in questo caso, è soddisfatto

$\underset{x}{\int }\underset{y}{\int }{f}_{X,Y}(x,y)dydx=1.$