Numero di Fanning

Template:F Il fattore di attrito di Fanning (o più semplicemente numero di Fanning) è il gruppo adimensionale dello sforzo di taglio alla parete, e rappresenta il rapporto fra i flussi conduttivo (sforzo di taglio) e convettivo (forze inerziali) di quantità di moto.

Prende il nome da John Thomas Fanning.

Definizione matematica

È definito come:

$f=\frac{2\tau }{\rho u^2}=\frac{f_D}{4}$

dove:

• $\tau$ è lo sforzo di taglio o tensione deviatorica nel materiale;
• $u$ è la velocità di flusso locale del materiale;
• $\rho$ è la densità del materiale;
• $f_D$ è il fattore di attrito di Darcy, ottenibile dal diagramma di Moody.

Dipendenza dalla viscosità

Definendo la viscosità, il numero di Fanning può sempre essere riespresso come:

$f=\frac{2||\mu \mathrm{\nabla }\overrightarrow{u}||}{\rho u^2}=\frac{2||\nu \mathrm{\nabla }\overrightarrow{u}||}{u^2}$

in cui:

• $\mu$ è la viscosità del materiale
• $\nu$ è la diffusività cinematica del materiale
• $\mathrm{\nabla }$ è l'operatore nabla

Nel caso della validità della legge di Stokes, la viscosità è costante perciò questa forma è particolarmente conveniente.

Equazione di Darcy-Weisbach

Template:Vedi anche Poiché l'equazione di Navier-Stokes della quantità di moto, definendo il carico idraulico, si può riesprimere in un condotto come una correzione all'equazione di Bernoulli:

$dH=\frac{L}{r}\mu \mathrm{\nabla }u$

Il numero di Fanning può essere legato alla perdita di carico idraulico:

$\mathrm{\Delta }H=f\frac{L}{r}\rho u^2$

dove:

• $\mathrm{\Delta }H$ è la perdita di carico idraulico;
• $L$ è la lunghezza del condotto;
• $r$ è il raggio equivalente del condotto.

Relazioni con altri numeri adimensionali

Il numero di Darcy, detto anche fattore di Blasius, utilizzato più frequentemente in ambito chimico e nella convenzione anglosassone sulle unità di misura, è quattro volte il numero di Fanning:

$F=4f$,

quindi bisogna prestare attenzione quando ci si riferisce a "fattore di attrito" in quanto si possono intendere ambedue gli adimensionali.

Infine si definisce coefficiente di attrito globale il prodotto del fattore di Blasius per il rapporto lunghezza/diametro equivalente del condotto:

$k=4f\frac{L}{D}$,

L'equazione di Darcy-Weisbach si riesprime quindi in modo più semplice come:

$\mathrm{\Delta }H=k\rho \frac{u^2}{2}$

dove $\mathrm{\Delta }H$ è la perdita di carico idraulico.

Correlazioni

Il fattore d'attrito dipende in primo luogo dal numero di Reynolds dalla rugosità, anche se storicamente questa dipendenza è stata spesso espressa con correlazioni implicite rendendo inevitabile l'utilizzo di diagrammi prima dell'avvento dei risolutori numerici di equazioni: tra questi diagrammi vanno citati ad esempio il diagramma di Moody (ottenuto dalla correlazione di Colebrook, implicita) e l'arpa di Nikuradse.

Legge di Poiseuille

Per un flusso laminare $(Re<2100)$ in condotti rispettivamente circolari e quadrati esiste una soluzione analitica (Legge di Poiseuille):

$f_c=\frac{16}{Re}$, $f_q=\frac{14.227}{Re}$

dove $Re$ è il numero di Reynolds del flusso.

Correlazione di Blasius

Blasius propose una correlazione nel 1913 trascurando la rugosità (condotti lisci) :

$f=0,079{\mathrm{R}\mathrm{e}}^{-0.25}$.

Johann Nikuradse in un articolo del 1932 disse che questo corrisponde a una legge di potenza per il profilo di velocità di flusso.

Mishra e Gupta nel 1979 hanno proposto un addendo per tubi elicoidali, con diametro del condotto $d$ e diametro di avvolgimento $D$:

$f=0,079{\mathrm{R}\mathrm{e}}^{-}\frac{1}{4}+0,0075\sqrt{\frac{d}{D}}$,

valido per:

• $R{e}_{tr}<Re<10^5$
• $6,7<D/d<346,0$
• $0<L/D<25,4$.

Correlazione di Colebrook

Per il flusso turbolento, le correlazioni si complicano: la prima storicamente è stata la correlazione di Colebrook , implicita nella relazione:

$\frac{1}{\sqrt{𝑓}}=-4,0{\log }_{10}(\frac{\frac{R}{d}}{3,7}+\frac{1,256}{Re\sqrt{𝑓}})$

dove $R$ è la rugosità del tubo (usare sempre unità di misura omogenee):

• $R=0,0000547m$ per l'acciaio
• $R=0,000259m$ per la ghisa
• $R=0,000122m$ per superfici rivestite
• $R=0,000152m$ per superfici zincate
• $R=0,00165m$ per il cemento.

Correlazione di Haaland

Dalla correlazione di Colebrook si ha la correlazione di Haaland, che ne è un'approssimazione:

$\frac{1}{\sqrt{f}}=-3,6\log [{\left(\frac{R}{3,7D}\right)}^{\frac{10}{9}}+\frac{6,9}{\mathrm{R}\mathrm{e}}]$;

se $2100<Re<4000$, si usa impiegare il massimo dei due valori.

Correlazione di Churchill

Churchill ha sviluppato infine una formula valida sia per il moto laminare sia per il turbolento.

$f=2{({\left(\frac{8}{Re}\right)}^{12}+{(A+B)}^{-1,5})}^{\frac{1}{12}}$

$A={(-2,457\ln ({\left(\frac{7}{Re}\right)}^{0,9}+0,27\frac{e}{D}))}^{16}$

$B={\left(\frac{37530}{Re}\right)}^{16}$

Voci correlate

• Coefficiente di attrito
• Numero di Colburn
• Numero di Brinkman
• Numero di Stokes