Piano (geometria)

Rappresentazione di due piani che si intersecano

Il piano è un concetto primitivo della geometria, ossia un concetto per il quale non esiste una definizione formale, sono intuitivamente comprensibili e esperienzialmente acquisiti. Viene accettata un'idea universalmente e unica di essi mediante il paragone con oggetti concreti usati come esempio, che non risolvono pienamente il concetto per la loro sussistenza materiale. Lo stesso accade al punto e alla retta.

Il piano si può pensare idealmente come un foglio di carta di dimensioni infinite: il piano è l'idea, il concetto astratto. A differenza del foglio di carta, però, il piano non ha spessore ed ha dimensioni infinite, quindi materialmente irrealizzabile.

In definitiva, esso:

• Inteso come luogo geometrico di punti, ha un'estensione superficiale: il piano, nello spazio tridimensionale, è l'insieme di tutti quei punti individuati dalla combinazione lineare di 2 vettori linearmente indipendenti applicati nel medesimo punto $P$.
• Dal punto di vista della geometria differenziale il piano è quella superficie che ha entrambe le curvature fondamentali nulle.

Le relazioni che intercorrono tra un piano e i punti e le rette che esso contiene sono espresse dagli assiomi di Euclide e dagli assiomi di Hilbert.

Piani nello spazio tridimensionale

L'equazione canonica del piano nello spazio tridimensionale ${ℝ}^3$ è del tipo:

$ax+by+cz+d=0,$

con $a,b,c,d\in ℝ,$ e $a,b,c$ non tutti nulli.

Equazione cartesiana

Piano passante per tre punti

Siano $P_1=(x_1,y_1,z_1),P_2=(x_2,y_2,z_2),P_3=(x_3,y_3,z_3)$ tre punti dello spazio non allineati. Per questi tre punti passa uno e un solo piano $\pi$. Un punto $P=(x,y,z)$ appartiene al piano $\pi$ solo se il vettore $P-P_1$ è combinazione lineare dei vettori $P_2-P_1$ e $P_3-P_1$, ossia se

$\left|\begin{array}{ccc}x-x_1& y-y_1& z-z_1\\ x_2-x_1& y_2-y_1& z_2-z_1\\ x_3-x_1& y_3-y_1& z_3-z_1\end{array}\right|=0.$

Sviluppando il determinante con la regola di Laplace rispetto alla prima riga si ottiene:

$a(x-x_1)+b(y-y_1)+c(z-z_1)=0,$

dove

$a=\left|\begin{array}{cc}{y}_2-y_1& z_2-z_1\\ y_3-y_1& z_3-z_1\end{array}\right|,b=-\left|\begin{array}{cc}{x}_2-x_1& z_2-z_1\\ x_3-x_1& z_3-z_1\end{array}\right|,c=\left|\begin{array}{cc}{x}_2-x_1& y_2-y_1\\ x_3-x_1& y_3-y_1\end{array}\right|.$

Infine, per ottenere l'equazione canonica del piano, si definisce $d$ come segue:

$d=-(a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0),$

dove $P_0=(x_0,y_0,z_0)$ è un punto che appartiene al piano, pertanto in questo caso si possono utilizzare le coordinate di un punto qualsiasi fra $P_1$, $P_2$ e $P_3$.

Condizione per indicare un piano

Per indicare un piano sono sufficienti:

• Tre punti non allineati appartenenti ad esso (vedi corollari della geometria euclidea).
• Due vettori linearmente indipendenti (cioè non paralleli) applicati nel medesimo punto $P$.
• Due rette distinte appartenenti al piano.
• Un vettore normale al piano ed il punto in cui è applicato (cioè un qualsiasi punto del piano). Si noti che non ha importanza il verso e l'intensità del vettore.
• Una retta e un punto appartenente al piano ma non appartenente alla retta.

Posizioni reciproche di due piani

Piani paralleli

Si può studiare la posizione reciproca di due piani mettendo a sistema le loro equazioni. Quando la matrice dei coefficienti ha rango 2, il sistema è compatibile e ammette una semplice infinità (${\mathrm{\infty }}^1$) soluzioni, che rappresentano tutti i punti della retta di intersezione tra i due piani. Quando sia la matrice dei coefficienti che la matrice completa hanno rango 1, le soluzioni sono una doppia infinità (${\mathrm{\infty }}^2$) e i piani sono paralleli e coincidenti (parallelismo improprio). Se infine la matrice dei coefficienti ha rango 1 e la matrice completa ha rango 2, il sistema è incompatibile e i piani sono paralleli e distinti (parallelismo proprio).

Altrimenti, si possono studiare i vettori normali ai due piani. I due piano sono parallele se e solo se essi sono linearmente dipendenti (cioè paralleli), quindi il loro prodotto vettoriale è nullo. Se e solo se i due vettori sono perpendicolari, cioè il loro prodotto scalare è nullo, i due piani sono perpendicolari.

Distanza di un punto da un piano

È possibile calcolare la distanza di un punto $P=(x_0,y_0,z_0)$ da un piano $\pi$ utilizzando la seguente formula:

$d(\pi ,P)=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.$

In particolare, se $d(\pi ,P)=0$, allora il punto $P$ appartiene al piano $\pi$.

Voci correlate

• Problemi di misura (geometria descrittiva)
• Superficie (matematica)
• Spazio affine
• Fascio di piani
• Piano proiettivo

Collegamenti esterni

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