Teorema di Hartogs

In matematica, il teorema di Hartogs è un risultato fondamentale dell'analisi complessa in più variabili dimostrato da Friedrich Hartogs. Il teorema afferma che ogni funzione a valori complessi F definita su Cⁿ, con n > 1, ed analitica in ogni variabile z_i , 1 ≤ i ≤ n, con le altre variabili considerate costanti, è continua.

Un corollario afferma che sotto le stesse ipotesi del teorema, la funzione F non solo è continua, ma è anche analitica come funzione in n-variabili (equivalentemente, F si può espandere localmente nella sua serie di Taylor). In altre parole, la separata analiticità e l'analiticità sono nozioni coincidenti nella teoria delle funzioni complesse in più variabili.

Nota che l'analogo di questo teorema per funzioni di più variabili reali è falso. Infatti, se assumiamo che una funzione

$f:{ℝ}^n\to ℝ$

è differenziabile (o anche analitica) in ciascuna variabile separatamente, non è necessariamente vero che $f$ è continua. Un controesempio in due dimensioni è dato dalla funzione

$f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}.$

Questa funzione è derivabile in $x$ e in $y$ (separatamente) in 0, ma non è continua in 0 (i limiti lungo le linee $x=y$ e $x=-y$ danno risultati diversi).

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