Supervarietà (geometria)

In fisica teorica ed in matematica, una supervarietà è una generalizzazione del concetto di varietà basato sulle idee provenienti dalla supersimmetria. Risulta essere possibile dare diverse definizioni del concetto di supervarietà.

Definizione in fisica

In fisica, una supervarietà è una varietà con coordinate bosoniche e fermioniche. Queste coordinate sono generalmente indicate con:

$(x,\theta ,\overline{\theta })$

dove le x sono le usuali coordinate di spaziotempo e le $\theta$ and $\overline{\theta }$ sono i numeri di Grassmann ovvero le $\theta$ sono le dimensioni anticommutanti relative ai gradi di libertà fermionici. I gradi di libertà fermionici (le coordinate $\theta$) anche se non hanno nessun significato fisico, tuttavia questo formalismo è molto utile per scrivere lagrangiane supersimmetriche.

Superspazio

In supersimmetria il concetto di "superspazio" è riferito alle coordinate spaziali relative ad una teoria della supersimmetria. In tale formulazione, insieme alle quattro dimensioni dello spazio ordinario (le coordinate bosoniche), $x^{\mu }$ con $\mu =0,\dots ,3$, ci sono anche le dimensioni "anticommutanti" le cui coordinate sono etichettate con i numeri di Grassmann; ovvero assieme alle dimensioni dello spazio di Minkowski che corrispondono a gradi di libertà bosonici, ci sono le dimensioni anticommutanti relative ai gradi di libertà fermionici.

Varietà

In geometria, una varietà è un concetto abbastanza generale definito con lo scopo di modellare "spazi a più dimensioni", eventualmente curvi, che "visti con una lente di ingrandimento" sembrano piatti e simili allo spazio euclideo, ma che visti globalmente possono assumere le forme più svariate.

Esempi di varietà sono le curve e le superfici. L'universo è intuitivamente un esempio di varietà tridimensionale. La relatività generale descrive lo spaziotempo come una varietà con 4 dimensioni.

Bibliografia

C. Bartocci, U. Bruzzo, D. Hernandez Ruiperez, The Geometry of Supermanifolds (Kluwer, 1991) ISBN 0792314409

A. Rogers, Supermanifolds: Theory and Applications (World Scientific, 2007) ISBN 9810212283

L. Mangiarotti, G. Sardanashvily, Connections in Classical and Quantum Field Theory (World Scientific, 2000) ISBN 9810220138 (arXiv: 0910.0092)

Voci correlate

• Supersimmetria
• Topologia differenziale
• Topologia della dimensione bassa
• Varietà
• 3-varietà

Collegamenti esterni

• Template:En`Lectures on Supersymmetry` (notes by Dennis Gaitsgory), Joseph Bernstein.
• Template:Enhep-th/9205088 `Geometry of Batalin-Vilkovisky quantization`, A. Schwarz.
• Template:EnarXiv: 0910.0092 Lectures on supergeometry, L. Mangiarotti, 2000.
• Template:EnA Supersymmetry Primer, S. Martin, 1999.
• Template:EnIntroduction to Supersymmetry, Joseph D. Lykken, 1996.
• Template:EnAn Introduction to Supersymmetry, Manuel Drees, 1996.
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