Ottante (geometria)

Come suggerisce il nome, l'ottante è, in geometria, l'ottava parte di uno spazio euclideo. A seconda dei casi, ovvero se lo spazio in considerazione è il piano, lo spazio o un generico spazio $n$-dimensionale, la definizione di ottante è leggermente diversa.

Geometria piana

In geometria piana l'ottante è l'ottava parte del cerchio di raggio unitario, così come il sestante ne è la sesta. L'ottante è quindi la parte di cerchio compresa tra due semirette che, con l'origine in comune, sono divise da un angolo di 45° sessagesimali, o $\pi /4$ radianti.

Dal termine ottante e sestante prendono il nome due antichi strumenti di navigazione per la nautica: l'ottante e il più recente sestante, appunto.

Geometria solida

In geometria solida l'ottante è l'ottava parte dello spazio, delimitato da tre piani incidenti a due a due ortogonali. Un ottimo esempio di ottante solido è l'angolo solido nelle pareti di una casa, visto dall'interno: se due pareti contigue sono a 90° l'una rispetto all'altra, e il soffitto (o il pavimento) è a 90° con entrambe, allora le tre pareti determinano un ottante. Dal momento che un angolo solido completo misura $4\pi$ steradianti, la sua ottava parte misura $\pi /2$ steradianti.

Geometria

In generale si definisce l'ortante, che è la generale estensione del concetto di ottante in geometria solida.

Nel generico spazio vettoriale euclideo ${ℝ}^n$ sia scelta una $n$-upla di vettori ortonormali $(b_1,...,b_n)$; un ortante $O\subseteq {ℝ}^n$ è l'insieme di tutti i vettori del tipo $v={\lambda }_1{b}_1+{\lambda }_2{b}_2+...+{\lambda }_n{b}_n$ dove tutti i coefficienti ${\lambda }_i\in {ℝ}^{+}$. Comunemente ci si limita a scegliere vettori ortonormali con la stessa direzione dei vettori della base standard, cioè $b_i=\pm e_i$.

Indubbiamente è sensato estendere la definizione in questo modo, dal momento che l'ortante risulta essere una delle $2^n$ porzioni di ${ℝ}^n$ separate da $n$ iperpiani a due a due ortogonali.

Voci correlate

• Quadrante (geometria analitica)

Collegamenti esterni

• Template:En Ottante su MathWorld.com