Divisione dei polinomi

In matematica, la divisione dei polinomi detta anche divisione lunga è un algoritmo che permette di trovare il quoziente tra due polinomi, di cui il secondo di grado non superiore al grado del primo. È un'operazione che si può svolgere a mano, poiché separa il problema in varie divisioni tra monomi, facilmente calcolabili.

Ricordiamo che, se i polinomi sono a coefficienti reali (o più in generale in un campo) per ogni coppia di polinomi $A(x)$ e $B(x)$ esistono unici altri due polinomi $Q(x)$ e $R(x)$ tali che:

$A(x)=B(x)\cdot Q(x)+R(x)$

posto che il grado di $R(x)$ sia minore di quello di $B(x)$. Questo fatto è proprio degli anelli euclidei, come sono gli anelli di polinomi costruiti su un campo.

Il grado di $Q(x)$ sarà equivalente invece alla differenza tra il grado di $A(x)$ e quello di $B(x)$.

Nel caso in cui $R(x)=0$, $A(x)$ sarebbe divisibile per $B(x)$.

L'algoritmo

L'algoritmo comporta l'esecuzione dei seguenti passi:

1. Per prima cosa si scrivono i due polinomi in questo modo, facendo attenzione a scrivere esplicitamente anche i termini nulli di $A(x)$ (ad esempio, $x^2-1$ andrà scritto come $x^2+0x-1$).

   $A(x)$	$B(x)$

2. Si divide il termine di grado massimo di $A(x)$ per il termine di grado massimo di $B(x)$ e si scrive il risultato sotto $B(x)$.

   $a_n{x}^n$	$+\dots$	$+a_0$	$b_m{x}^m+\dots +b_0$
   			$\frac{a_n{x}^n}{b_m{x}^m}=q_k{x}^k$

3. Si moltiplica questo termine $q_k{x}^k$ per il polinomio $B(x)$ e si scrive il risultato sotto $A(x)$, incolonnando ogni termine sotto il termine di $A(x)$ di grado uguale.

   $a_n{x}^n$	$+\dots$	$+a_0$	$b_m{x}^m+\dots +b_0$
   $b_m{q}_k{x}^{m+k}$	$+\dots$	$+b_0{q}_k{x}^k$	$\frac{a_n{x}^n}{b_m{x}^m}=q_k{x}^k$

4. Si esegue la sottrazione tra $A(x)$ e il polinomio scritto sotto di esso. Per costruzione, il termine in $x^n$ si eliderà, lasciando un polinomio di grado minore ($n-1$ o anche meno).

   $a_n{x}^n$	$+\dots$	$+a_0$	$b_m{x}^m+\dots +b_0$
   $b_m{q}_k{x}^{m+k}$	$+\dots$	$+b_0{q}_k{x}^k$	$\frac{a_n{x}^n}{b_m{x}^m}=q_k{x}^k$
   $//+r_{n-1}{x}^{n-1}$	$+\dots$	$+r_0$

5. Se il grado di questo polinomio differenza $R_1(x)$ è maggiore o uguale a quello di $B(x)$ si ripetono le operazioni da 2 a 4 considerando adesso $R_1$ come dividendo e aggiungendo il termine

   $\frac{r_{n-1}{x}^{n-1}}{b_m{x}^m}=q_{k-1}{x}^{k-1}$

   a destra del termine $q_k{x}^k$, come addendo successivo.
6. Quando si sarà raggiunto un polinomio $R_i(x)$ di grado inferiore a $B(x)$, allora tale polinomio $R_i(x)$ sarà il resto $R(x)$ della divisione; il polinomio

   $Q(x)=q_k{x}^k+q_{k-1}{x}^{k-1}+...+q_0,$

   formatosi mano a mano sotto $B(x)$, sarà invece il polinomio quoziente.

Esempio

Per comprendere meglio l'algoritmo di divisione dei polinomi, in seguito viene svolto un esercizio a titolo d'esempio.

Dividiamo il polinomio

$A(x)=3x^4-x^3$

per il polinomio

$B(x)=x^2-2$

Passo 1

Scriviamo i due polinomi $A(x)$ e $B(x)$ come nel modo illustrato più sopra. Così che ognuno dei due polinomi sia ordinato per grado (in modo decrescente) e siano esplicitati anche i monomi con coefficiente 0.

$3x^4$	$-x^3$	$+0x^2$	$+0x$	$+0$	$x^2-2$

Passo 2

Dividiamo il termine di grado massimo di $A(x)$, che risulta essere $3x^4$, per il termine di grado massimo di $B(x)$, che è $x^2$ e scriviamo il risultato sotto $B(x)$.

$3x^4$	$-x^3$	$+0x^2$	$+0x$	$+0$	$x^2-2$
					$3x^2$

Passo 3

Ora scriviamo, sotto $A(x)$, il polinomio ricavato moltiplicando il risultato della divisione dei termini di grado massimo, per il polinomio $B(x)$. Bisogna tenere conto dei termini con coefficiente nullo.

$3x^4$	$-x^3$	$+0x^2$	$+0x$	$+0$	$x^2-2$
$3x^4$	$+0x^3$	$-6x^2$	$+0x$	$+0$	$3x^2$

Si può notare che, come già detto nel caso generale, i termini di grado maggiore di $A(x)$ e del polinomio scritto sotto $A(x)$, sono uguali.

Passo 4

Ora sottraiamo $A(x)$ con il polinomio scritto al di sotto per ottenere il polinomio $R_1(x)$.

$3x^4$	$-x^3$	$+0x^2$	$+0x$	$+0$	$x^2-2$
$3x^4$	$+0x^3$	$-6x^2$	$+0x$	$+0$	$3x^2$
$//$	$-x^3$	$+6x^2$	$+0x$	$+0$

Il grado di $R_1(x)=-x^3+6x^2$ è maggiore di quello di $B(x)$, dunque iteriamo il procedimento.

Passo 2b

Dividiamo il termine di grado massimo di $R_1$ che risulta essere $-x^3$ per il termine di grado massimo di $B(x)$ e scriviamo il risultato accanto a quello ottenuto precedentemente.

$3x^4$	$-x^3$	$+0x^2$	$+0x$	$+0$	$x^2-2$
$3x^4$	$+0x^3$	$-6x^2$	$+0x$	$+0$	$3x^2-x$
$//$	$-x^3$	$+6x^2$	$+0x$	$+0$

Passo 3b

Ora, come nel passo 3, moltiplichiamo il risultato della divisione appena eseguita che, nel nostro esempio risulta essere $-x$, per il polinomio $B(x)$ e scriviamo il risultato della moltiplicazione sotto $R_1(x)$.

$3x^4$	$-x^3$	$+0x^2$	$+0x$	$+0$	$x^2-2$
$3x^4$	$+0x^3$	$-6x^2$	$+0x$	$+0$	$3x^2-x$
$//$	$-x^3$	$+6x^2$	$+0x$	$+0$
	$-x^3$	$+0x^2$	$+2x$	$+0$

Passo 4b

Eseguiamo la sottrazione tra il polinomio $R_1(x)$ e il polinomio scritto sotto per ottenere $R_2(x)$.

$3x^4$	$-x^3$	$+0x^2$	$+0x$	$+0$	$x^2-2$
$3x^4$	$+0x^3$	$-6x^2$	$+0x$	$+0$	$3x^2-x$
$//$	$-x^3$	$+6x^2$	$+0x$	$+0$
	$-x^3$	$+0x^2$	$+2x$	$+0$
	$//$	$6x^2$	$-2x$	$+0$

Dato che il grado di $R_2(x)$ non è inferiore a quello di $B(x)$ dobbiamo iterare ancora un'altra volta il procedimento.

Passo 2c

Dividiamo il termine di grado superiore di $R_2(x)$ per il termine di grado superiore di $B(x)$.

$3x^4$	$-x^3$	$+0x^2$	$+0x$	$+0$	$x^2-2$
$3x^4$	$+0x^3$	$-6x^2$	$+0x$	$+0$	$3x^2-x+6$
$//$	$-x^3$	$+6x^2$	$+0x$	$+0$
	$-x^3$	$+0x^2$	$+2x$	$+0$
	$//$	$6x^2$	$-2x$	$+0$

Passo 3c

Moltiplichiamo $B(x)$ per il risultato della divisione appena eseguita e scriviamo il risultato della moltiplicazione sotto $R_2(x)$.

$3x^4$	$-x^3$	$+0x^2$	$+0x$	$+0$	$x^2-2$
$3x^4$	$+0x^3$	$-6x^2$	$+0x$	$+0$	$3x^2-x+6$
$//$	$-x^3$	$+6x^2$	$+0x$	$+0$
	$-x^3$	$+0x^2$	$+2x$	$+0$
	$//$	$6x^2$	$-2x$	$+0$
		$6x^2$	$+0x$	$-12$

Passo 4c

Eseguiamo la sottrazione tra $R_2(x)$ e il polinomio scritto sotto per ottenere il polinomio $R_3(x)$.

$3x^4$	$-x^3$	$+0x^2$	$+0x$	$+0$	$x^2-2$
$3x^4$	$+0x^3$	$-6x^2$	$+0x$	$+0$	$3x^2-x+6$
$//$	$-x^3$	$+6x^2$	$+0x$	$+0$
	$-x^3$	$+0x^2$	$+2x$	$+0$
	$//$	$6x^2$	$-2x$	$+0$
		$6x^2$	$+0x$	$-12$
		$//$	$-2x$	$+12$

Siamo giunti a $R_3(x)=-2x+12$, che ha grado strettamente minore di $B(x)=x^2-2$, dunque il resto è

$R(x)=R_3(x)$

e il quoziente della nostra divisione è

$Q(x)=3x^2-x+6$

possiamo quindi scrivere

$\begin{array}{cc}A(x)=B(x)& \cdot Q(x)+R(x)\\ & \Downarrow \\ 3x^4-x^3=(x^2-2)& \cdot (3x^2-x+6)+(-2x+12)\end{array}$

Regola di Ruffini

Template:Vedi anche Una versione più sintetica di questo procedimento è attuabile quando il divisore B è della forma $B(x)=x-r$ o $B(x)=ax-k$, un binomio di primo grado. Tale regola è stata esposta da Paolo Ruffini per la prima volta nel 1810.

Bibliografia

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Voci correlate

• Divisione (matematica)
• Polinomio
• Regola di Ruffini
• Teorema del resto