Scomposizione dei polinomi

In matematica, l'espressione scomposizione di un polinomio in fattori, anche chiamata fattorizzazione di un polinomio, significa esprimere un dato polinomio come prodotto di due o più fattori polinomiali di grado inferiore. Ci sono alcuni polinomi che non possono essere espressi come il prodotto di polinomi di grado inferiore e sono detti polinomi irriducibili. La scomposizione dei polinomi è utile nelle operazioni con le frazioni algebriche.

Metodi di scomposizione

Raccoglimento a fattore comune

Template:Vedi anche Significa mettere in evidenza dei numeri, delle lettere o entrambi che dividano tutti o alcuni degli elementi del polinomio. Se il fattore evidenziato divide tutti gli elementi si avrà un raccoglimento totale, se invece il fattore è comune solo ad alcuni, il raccoglimento sarà parziale.

Un esempio di raccoglimento totale è:

$AB+AC+AD=A(B+C+D).$

In caso in cui ci siano numeri si calcola il massimo comune divisore. Per esempio:

$3AB+9AC=3A(B+3C).$

Un esempio di raccoglimento parziale può essere:

$AB+AC+B^2+BC=A(B+C)+B(B+C).$

In questo caso, il risultato ottenuto presenta anch'esso un fattore comune (il binomio $B+C$), e quindi si può procedere a un'ulteriore scomposizione dell'espressione ottenuta:

$A(B+C)+B(B+C)=(B+C)(A+B).$

Prodotti notevoli

Template:Vedi anche Alcuni polinomi sono il risultato di particolari moltiplicazioni o di elevamenti a potenza di binomi o altri polinomi (prodotti notevoli). Conoscendo in anticipo questi prodotti, è possibile, applicando a ritroso i passaggi, risalire con facilità ai fattori che li compongono.

Alcuni esempi di prodotti notevoli possono essere:

$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$

$x^2+2xy+y^2=(x+y{)}^2.$

Da notare attentamente la differenza di segni, in quanto le due espressioni non sono identiche bensì differiscono per il segno comportando una forma scomposta non identica.

Trinomi particolari di secondo grado

I trinomi di secondo grado si dicono particolari (o caratteristici) quando sono espressi nella forma:

$x^2+sx+p$

nel quale:

• il coefficiente di $x^2$ è $1$;
• $s$ e $p$ sono due numeri reali che esprimono rispettivamente la somma e il prodotto delle due radici $x_1$ e $x_2$ del trinomio.

Una volta trovati (se esistono) i due numeri $x_1$ e $x_2$ tali che $x_1+x_2=s$ e $x_1\cdot x_2=p$, il trinomio è scomponibile nella forma:

$x^2+sx+p=(x+x_1)(x+x_2)$

Ad esempio:

$x^2+5x-6$

$s=5=6-1$

$p=-6=6\cdot (-1).$

È quindi possibile scomporre il trinomio di secondo grado in questo modo:

$x^2+5x-6=(x-1)(x+6).$

In generale si avrà che:

$x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).$

Trinomi notevoli

Template:Vedi anche I trinomi di secondo grado sono del tipo:

$a{x}^2+bx+c,$ $(a,b,c\in ℝ,a\ne 0)$

Se il discriminante del trinomio è positivo o nullo ($\mathrm{\Delta }\ge 0$), allora il trinomio può essere scomposto come:

$a{x}^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2),$

dove $x_1$ e $x_2$ sono le soluzioni dell'equazione di secondo grado:

$a{x}^2+bx+c=0.$

Regola di Ruffini

Template:Vedi anche Dato un generico polinomio $P(x)$, ad esempio $P(x)=x^3+2x^2-x-2$, se si riesce a trovare un numero $a$ tale che $P(a)=0$, allora il polinomio $P(x)$ è divisibile per il binomio di primo grado $(x-a)$, quindi applicando la regola della divisione secondo il teorema del resto si ottiene il polinomio quoziente $Q(X),$ il polinomio iniziale $P(x)$ può quindi essere scomposto come:

$P(x)=(x-a)Q(x),$

nel caso in cui si possano ottenere tanti numeri $(a,b,c)$ che annullino il polinomio quanto è il grado del polinomio dato, si avrà:

$P(x)=(x-a)(x-b)(x-c),$

Nel polinomio in esempio $P(x)=x^3+2x^2-x-2$ si considerino i numeri ottenuti come rapporto tra i divisori del termine noto ed i divisori del coefficiente del termine di grado massimo (per il teorema delle radici razionali), nel nostro caso i numeri $+1,-1,+2,-2,$ si trova che $P(1)=0$, $P(-1)=0$ e $P(-2)=0$, quindi si potrà scrivere:

$x^3+2x^2-x-2=(x-1)(x+1)(x+2).$

Anche se è $-2$ a rendere nullo il polinomio, si ricordi che nell'espressione generale il termine $a$ compare in $(x-a)$ anteposto da un segno meno, e quindi comporta il cambio di segno di quest'ultimo.

Di seguito un altro esempio: si consideri il polinomio $P(x)=x^3-2x^2+4x-3$; per questo polinomio sarà $P(1)=0$. Dato che non è possibile trovare altri numeri per i quali si annulla il polinomio, si dovrà procedere con la divisione mediante la regola di Ruffini; quindi sarà:

$Q(x)=x^2-x+3$

allora il polinomio si potrà così scomporre:

$x^3-2x^2+4x-3=(x-1)(x^2-x+3).$

Riassunto delle scomposizioni riconducibili a prodotti notevoli

Template:Vedi anche Ecco uno schema riassuntivo di tutte le scomposizioni riconducibili a prodotti notevoli:

$a^2-b^2=(a-b)(a+b);$

$a^2+2ab+b^2=(a+b{)}^2;$

$a^2-2ab+b^2=(a-b{)}^2;$

$a^2+b^2+c^2-2ab+2ac-2bc=(a-b+c{)}^2;$

$a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=(a+b+c{)}^2;$

$a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3=(a+b{)}^3;$

$a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3=(a-b{)}^3.$

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

Caso particolare di polinomio con n multiplo di 4

Sia $(x^n+t)$ con $n,t\in N$ tali che $n$ multiplo di 4 e $\sqrt{2\cdot \sqrt{t}}\in N$ allora risulta la seguente uguaglianza:

$(x^n+t)=(x^{n/2}+x^{n/4}\cdot \sqrt{2\cdot \sqrt{t}}+\sqrt{t})\cdot (x^{n/2}-x^{n/4}\cdot \sqrt{2\cdot \sqrt{t}}+\sqrt{t})$

Esempio:

$(x^4+4)=(x^2+2x+2)\cdot (x^2-2x+2)$

Bibliografia

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Voci correlate

• Fattorizzazione
• Frazione algebrica
• Fattore terminale

Collegamenti esterni

• Spiegazione del significato geometrico della scomposizione dei polinomi.