Numero di Harshad

Un numero di Harshad in una data base è un numero intero positivo divisibile per la somma delle proprie cifre.

La definizione dei numeri di Harshad è stata data dal matematico indiano Dattatreya Ramachandra Kaprekar. Il termine Harshad deriva dal sanscrito "harṣa" che significa "grande gioia". A volte ci si riferisce a questi numeri anche come numeri di Niven, in onore del matematico Ivan Morton Niven.

Definizione matematica

Dato un intero positivo $X$ che, espresso in base $n$, sia di $m$ cifre $a_i$ (con $i=0,1,\dots ,m-1$) (si noti che $a_i$ deve essere zero o un intero positivo inferiore a $n$), allora $X$ può essere scritto come:

$X=\sum _{i=0}^{m-1}{a}_i{n}^i.$

Se esiste un intero $A$ tale che valga la seguente uguaglianza, allora $X$ è un numero di Harshad in base $n$:

$X=A\sum _{i=0}^{m-1}{a}_i.$

Numeri di Harshad in base 10

I primi numeri di Harshad nella base 10 con più di una cifra sono (sequenza A005349 dell'OEIS):

10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100, 102, 108, 110, 111, 112, 114, 117, 120, 126, 132, 133, 135, 140, 144, 150, 152, 153, 156, 162, 171, 180, 190, 192, 195, 198, 200, 201, 204.

Numeri di Harshad consecutivi

Helen Grundman ha dimostrato nel 1994 che, in base 10, non esistono sequenze di numeri di Harshad consecutivi di lunghezza pari o superiore a 21. Ha anche individuato la prima sequenza di 20 numeri consecutivi: si trova oltre $10^{44363342786}$.

Stima della quantità di numeri di Harshad

Sia $N(x)$ la funzione che restituisce il numero di numeri di Harshad minori o uguali a $x$:

• Jean-Marie De Koninck e Nicolas Doyon hanno dimostrato che per qualsiasi $\epsilon >0$: $x^{1-\epsilon }\ll N(x)\ll \frac{x\log \log x}{\log x}$.

• De Koninck, Doyon e Kátai hanno poi dimostrato che, posto $c=\frac{14}{27}\log 10\approx 1,1939$: $N(x)=(c+o(1))\frac{x}{\log x}$.

Quali numeri possono o non possono essere numeri di Harshad?

• Ogni numero naturale con notazione $n\cdot 10^i$, dove $n$ è una qualsiasi cifra compresa tra 1 e 9, e $i$ è un qualsiasi intero maggiore o uguale a 0, è un numero di Harshad poiché la somma delle sue cifre è pari ad $n$.

• Ogni numero naturale con notazione $nnn$ è un numero di Harshad, infatti $nnn=n\cdot 10^2+n\cdot 10^1+n\cdot 10^0=n\cdot (100+10+1)=n\cdot 111=n\cdot (3\cdot 37)=(3\cdot n)\cdot 37$, per cui $nnn$ è sicuramente divisibile per la somma delle sue cifre, ossia $3n$.

• Con procedimento analogo si può dimostrare che ogni numero naturale con notazione $n\dots n$ di lunghezza $l$ uguale a una qualsiasi potenza naturale di 3, è un numero di Harshad, infatti si può sempre fattorizzare come $ln$.

• Tutti i fattoriali fino a $431!$ compreso sono numeri di Harshad. Il numero $432!$ è il primo a non esserlo. Invece lo sono altri fattoriali, ad esempio: $444!,453!,458!,474!,476!,485!,489!,\dots$

• Ogni numero naturale con notazione $9R_n{a}_n$, dove $R_n$ è il numero in base 10 formato da $n$ ripetizioni della cifra 1, $n>0$, e $a_n$ è un qualsiasi intero positivo minore di $10^n$ e multiplo di $n$, è un numero di Harshad.(R. D'Amico, 2019).

Numeri di Harshad in base b

Un numero di Harshad in una generica base $b$ viene definito un numero di $b$-Harshad (secondo la notazione di Grundman del 1994).

I numeri 1, 2, 4 e 6 sono gli unici numeri a essere numeri di Harshad in qualunque base siano espressi; per questa proprietà sono detti numeri di Harshad completi.

Numeri di b-Harshad consecutivi

In notazione binaria, c'è un numero infinito di sequenze di 4 numeri di 2-Harshad; in notazione ternaria, c'è un numero infinito di sequenze di 6 numeri di 3-Harshad. Entrambe le dimostrazioni si devono a T. Cai che le pubblicò nel 1996.

Che numeri possono o non possono essere numeri di b-Harshad?

• Ogni numero $n$ inferiore alla base $b$ è un numero di b-Harshad. Infatti essendo la sua notazione di una sola cifra, risulta evidentemente essere divisibile per sé stesso.

• Ogni numero $a$ che sia una potenza intera di $b$ (ossia $a=b^n$) è un numero di b-Harshad, poiché la sua notazione in base $b$ è $10,100,\dots ,10\dots 0$ quindi la somma delle cifre di $a$ è sempre uguale a 1 che è sicuramente un divisore di $a$.

• Un numero primo $p$ è un numero di b-Harshad solamente se è inferiore o uguale alla base $b$. La prima regola esposta assicura la validità di questa regola per i casi $p<b$. La seconda regola esposta, per il caso $p=b$ (nell'eventulità che $b$ stesso sia primo). La validità per i casi rimanenti può essere dimostrata per assurdo, infatti se esistesse un numero primo $p$, superiore alla base $b$ che fosse un numero di $b$-Harshad, allora la somma delle sue cifre (che è necessariamente inferiore a $p$ e superiore all'unità) sarebbe un divisore di $p$ che, tuttavia, essendo primo ammette come divisori unicamente $p$ e l'unità.

Numeri Harshad-morfici

Un numero intero $t$ si dice Harshad-morfico (o Niven-morfico) se, per una data base $b$, è possibile trovare un numero di $b$-Harshad $n$, tale che la somma delle sue cifre sia uguale a $t$, e $t$ sia la parte terminale della notazione di $n$ scritto nella stessa base $b$.

Ad esempio, 18 è Harshad-morfico in base 10, poiché:

• 16218 ha 18 come somma delle cifre;
• 18 è un divisore di 16218 (quindi 16218 è un numero di Harshad);
• 18 è la parte finale di 16218.

Sandro Boscaro ha dimostrato che in base 10 tutti i numeri interi sono Harshad-morfici tranne 11.

Bibliografia

• H. G. Grundmann, Sequences of consecutive Niven numbers, Fibonacci Quarterly 32 (1994), 174-175
• Jean-Marie De Koninck and Nicolas Doyon, On the number of Niven numbers up to x, Fibonacci Quarterly Volume 41.5 (November 2003), 431–440
• Jean-Marie De Koninck, Nicolas Doyon and I. Katái, On the counting function for the Niven numbers, Acta Arithmetica 106 (2003), 265–275
• Sandro Boscaro, Nivenmorphic Integers, Journal of Recreational Mathematics 28, 3 (1996 - 1997): 201–205!
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