Concentrazione (statistica)

Template:S In statistica la concentrazione è una proprietà dei caratteri trasferibili

Il concetto statistico di concentrazione

Caratteri quantitativi trasferibili

Si usa distinguere i caratteri statistici in qualitativi - quando le modalità del carattere sono espresse mediante attributi - e quantitativi - quando le modalità sono espresse mediante valori numerici, rappresentativi di una misurazione o di un conteggio .

Un carattere quantitativo può essere misurato su scala di intervallo - quando lo 0 ha valore convenzionale e i confronti fra valori possono essere eseguiti mediante differenze - o su scala di rapporto - quando lo 0 sta ad indicare l'assenza del carattere medesimo e i confronti possono essere eseguiti anche mediante rapporti fra valori . Alcuni caratteri quantitativi sono propri di una data unità statistica e non sono cedibili o trasferibili da questa ad altre unità, come per esempio la statura, il peso, l'età o il numero di figli partoriti da una donna. Esistono altri caratteri quantitativi, invece, che possono essere ceduti parzialmente o totalmente da un'unità ad un'altra. Ne sono un esempio il patrimonio o il reddito, nonché il numero di dipendenti di un'azienda o il numero di autovetture di una famiglia. Il carattere che un'unità statistica può cedere, anche parzialmente, ad un'altra è detto carattere trasferibile. I caratteri trasferibili sono misurati, naturalmente, su scala di rapporto

Equidistribuzione e concentrazione

Si supponga di rilevare un carattere trasferibile in un collettivo composto da n individui. Le n osservazioni di tale carattere sono genericamente indicate con $a_1$, $a_2$,$\dots$, $a_n$ e, senza perdere in generalità, si supponga che tali valori siano ordinati in senso non decrescente, cioè $a_i\le a_j$ quando $i<j$. Essendo il carattere trasferibile ha senso considerare la somma delle n osservazioni, cioè l'ammontare complessivamente posseduto dall'intero collettivo

$A=\sum _{i=1}^n{a}_i$

I termini equidistribuzione e concentrazione fanno riferimento al modo in cui l'ammontare complessivo A è ripartito fra gli n individui. Un carattere trasferibile è equidistribuito quando l'ammontare complessivo A è distribuito in parti uguali fra tutti gli individui, cioè quando

$a_i=\frac{A}{n},i=1,2,\dots ,n$

In una simile situazione la frazione degli h individui più poveri è uguale a h/n ed essa possiede una frazione dell'ammontare complessivo A uguale a

$\frac{1}{A}\sum _{i=1}^h{a}_i=\frac{1}{A}\sum _{i=1}^h\frac{A}{n}=\sum _{i=1}^h\frac{1}{n}=\frac{h}{n},$

cioè le due frazioni coincidono.

Quando il carattere non è equidistribuito, esso è tanto più concentrato quanto minore è la frazione dell'ammontare complessivo A che spetta ad una qualunque frazione degli individui più "poveri", oppure esso è tanto più concentrato quanto maggiore è la frazione dell'ammontare complessivo A che spetta ad una qualunque frazione degli individui più "ricchi". In altre parole, la frazione degli h individui più poveri è $h/n$; questi individui collettivamente posseggono una quota dell'ammontare A che può essere determinata come

$A^{-}=\frac{1}{A}\cdot \sum _{i=1}^h{a}_i$

Agli h individui più poveri si possono contrapporre idealmente gli h individui più ricchi. La frazione degli individui più ricchi sarà ancora $h/n$, ma la quota dell'ammontare da questi posseduta è

$A^{+}=\frac{1}{A}\cdot \sum _{i=n-h}^n{a}_i$

Eccetto che nel caso di equidistribuzione, risulta sempre $A^{+}>A^{-}$, cioè $A^{+}-A^{-}>0$ e questa differenza è tanto più grande quanto più il carattere è concentrato. Il carattere ha concentrazione massima quando una sola unità possiede l'intero ammontare A e le rimanenti n-1 unità possiedono 0. In questo caso risulta $A^{+}=A$ e $A^{-}=0$. Il concetto statistico di concentrazione ha molteplici applicazioni in ambito economico e sociale di cui si darà conto nel par. Applicazioni.

Legami con altri concetti statistici

Dalla definizione di equidistribuzione e di concentrazione di un carattere quantitativo trasferibile è evidente che esiste un legame fra questi concetti e la variabilità. La situazione di equidistribuzione coincide chiaramente con una situazione di variabilità nulla. Mentre all'aumentare della concentrazione aumenta la variabilità e viceversa. Fissato l'ammontare complessivo A di un carattere trasferibile, è possibile determinare la distribuzione di frequenze che ha la massima variabilità rispetto ad una data misura (varianza, differenza semplice media, etc.). Si può dimostrare facilmente che tale distribuzione è proprio quella di massima concentrazione, cioè quella in cui n-1 individui posseggono 0 e un solo individuo possiede l'ammontare complessivo A. Potenzialmente, un qualsiasi indice relativo di variabilità può essere adatto a misurare la concentrazione, ma non tutti soddisfano i requisiti necessari per misurare in modo appropriato la concentrazione. Comunque, i legami sopra evidenziati si traducono in relazioni funzionali fra misure di variabilità e di concentrazione che saranno, brevemente, esaminate quando si illustreranno gli indici di concentrazione.

Il concetto statistico di omogeneità è per certi versi analogo a quello di equidistribuzione o concentrazione nulla: difatti, un collettivo è detto omogeneo rispetto ad un dato carattere se tutte le sue unità presentano la medesima modalità del carattere. Il concetto complementare di eterogeneità non coincide con quello di concentrazione. Equidistribuzione e concentrazione hanno anche un legame con i concetti di simmetria e asimmetria della distribuzione di un carattere quantitativo trasferibile.

Il diagramma di Lorenz

Il diagramma di Lorenz è una rappresentazione grafica che consente di mettere rapidamente a confronto una situazione di concentrazione realmente osservata con la situazione ideale di equidistribuzione, nonché di calcolare alcune misure sintetiche della concentrazione.

Costruzione del diagramma a partire da una distribuzione unitaria

Come nella precedente sezione "Equidistribuzione e concentrazione", supponiamo che le n osservazioni di un carattere trasferibile in un collettivo di n unità siano genericamente indicate con $a_1,a_2,\dots ,a_n$ e, senza perdere in generalità, si supponga che tali valori siano ordinati in senso non decrescente, cioè $a_i\le a_j$ quando $i<j$. Si defiscono le sequenze di valori:

1. ammontare cumulato posseduto dalle i unità più povere: $A_i=\sum _{h=1}^i{a}_h$. L'ultimo termine di questa successione, $A_n$, indica l'ammontare del carattere complessivamente detenuto dalle n unità statistiche.
2. proporzione cumulata del totale posseduta dalle i unità più povere: $q_0=0$ e $q_i=A_i/A_n$ per $i\ge 1$. Si tratta di una sequenza non decrescente di valori, poiché se $i<j$,allora risulta $q_j=\frac{A_j}{A_n}=\frac{A_i+a_{i+1}+\cdots +a_j}{A_n}=\frac{A_i}{A_n}+\frac{a_{i+1}+\cdots +a_j}{A_n}=q_i+\frac{a_{i+1}+\cdots +a_j}{A_n}\ge q_i$.
3. proporzione cumulata delle i unità più povere: $p_0=0$ e $p_i=i/n$ per $i\ge 1$. Si tratta di una sequenza strettamente crescente di valori, poiché se $i<j$, allora risulta $\frac{i}{n}<\frac{j}{n}$ e dunque $p_i<p_j$. Si osservi, inoltre, che i valori $p_i$ rappresentano anche la proporzione cumulata del totale posseduta dalle i unità più povere nel caso in cui vi fosse equidistribuzione del carattere. In tal caso infatti ogni unità possiederebbe $\overline{a}=A_n/nr$ e, pertanto, risulta $A_i=i\cdot \overline{a}$ e, naturalmente, $A_n=n\cdot \overline{a}$, pertanto $\frac{A_i}{A_n}=\frac{i\cdot \overline{a}}{n\cdot \overline{a}}=\frac{i}{n}=p_i$.

Notiamo, infine, che nel caso di equidistribuzione risulta $p_i=q_i$, mentre se il carattere è concentrato risulta $q_i<p_i$. Difatti per una nota proprietà della media aritmetica risulta $\frac{A_i}{i}<\frac{A_n}{n}$ e da questa si ottiene $\frac{A_i}{A_n}<\frac{i}{n}$.

La curva di Lorenz o di concentrazione si costruisce collocando su un sistema cartesiano monometrico la sequenza $p_i$ in ascissa e la sequenza $q_i$ in ordinata, congiungendo con segmenti i punti così individuati nel piano. Per un pronto confronto visivo con la situazione di equidistribuzione, si riporta sul grafico anche il segmento congiungente i punti $(0,0)$ e $(1,1)$.

Bibliografia

• Borra, Simone e Di Ciaccio, Agostino, Statistica: metodologie per le scienze economiche e sociali, 2ª ed., McGraw-Hill, Milano, 2008;
• Leti, Giuseppe, Statistica Descrittiva, Il Mulino, Bologna, 1983;
• Zenga, Michele, Lezioni di statistica descrittiva, Giappichelli Editore, Torino, 2007.