Capacità (matematica)

Template:F Una capacità, detta anche probabilità non additiva, è una funzione di insieme $\nu$ definita su un'algebra $𝔄$ di sottoinsiemi di un insieme $X$ che gode delle seguenti proprietà:

• L'insieme vuoto ha misura nulla:

$\nu (\varnothing )=0$ .

• Monotonia: Se E₁ ed E₂ appartengono ad $𝔄$

$E_1\subseteq E_2⟹\nu (E_1)\le \nu (E_2)$

Infine deve soddisfare la seguente proprietà:

$\nu (X)=1$ .

A differenza della misura di probabilità non è richiesta l'additività.

Proprietà di una capacità

Poiché non è richiesta l'additività, la seguente proprietà

$\nu (A\cap B)+\nu (A\cup B)=\nu (A)+\nu (B)$

per $A,B\in 𝔄$, generalmente non è soddisfatta in senso stretto. Infatti si dice che una capacità è concava se

$\nu (A\cap B)+\nu (A\cup B)\le \nu (A)+\nu (B)$

o che è convessa se

$\nu (A\cap B)+\nu (A\cup B)\ge \nu (A)+\nu (B)$

Ambiti di applicazione

Le capacità sono usate nell'integrale di Choquet e nella teoria delle decisioni dove costituiscono la base del modello di Schmeidler.