Correlazione incrociata

In teoria dei segnali la correlazione incrociata (detta anche correlazione mutua o cross-correlazione, dall'inglese cross-correlation) rappresenta la misura di similitudine di due segnali come funzione di uno spostamento o traslazione temporale applicata ad uno di essi.

Definizione intuitiva

Considerando due segnali a valori reali $x$ e $y$ che differiscono solamente per uno spostamento sull'asse t, si può calcolare la correlazione incrociata per mostrare di quanto $y$ deve essere anticipato per renderlo identico ad $x$. La formula essenzialmente anticipa il segnale $y$ lungo l'asse t, calcolando l'integrale del prodotto per ogni possibile valore dello spostamento. Quando i due segnali coincidono, il valore di $(x\star y)$ è massimizzato, poiché quando le forme d'onda sono allineate, esse contribuiscono solo positivamente al computo dell'area.

Con segnali complessi $x$ e $y$, prendere il coniugato di $x$ assicura che le forme d'onda allineate con componenti immaginarie contribuiscano positivamente al computo dell'integrale.

Definizione formale

Per due segnali di energia finita x ed y la correlazione incrociata è definita come:

$R_{xy}(t)=(x\star y)(t)\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{*}(\tau )y(t+\tau )d\tau$

in cui x * denota il complesso coniugato di x.

Per due sequenze tempo-discreto, la correlazione incrociata è definita come:

$R_{xy}[n]=(x\star y)[n]\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}^{*}[m]y[n+m]$

Similmente, nel caso di segnali di potenza, si può scrivere:

$R_{xy}(t)=(x\star y)(t)\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\underset{T\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{T}\underset{-\frac{T}{2}}{\overset{\frac{T}{2}}{\int }}{x}^{*}(\tau )y(t+\tau )d\tau$

e per sequenze di potenza:

$R_{xy}[n]=(x\star y)[n]\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{2N+1}\sum _{m=-N}^N{x}^{*}[m]y[n+m]$

La correlazione incrociata è simile per natura alla convoluzione tra due segnali. A differenza della convoluzione, che comporta l'inversione temporale di un segnale e poi lo spostamento ed il prodotto per un altro segnale, la correlazione comporta solamente lo spostamento ed il prodotto.

Proprietà

• La correlazione incrociata dei segnali x(t) e y(t) è equivalente alla convoluzione di x *(−t) e y(t):

$x\star y=(t\mapsto x^{*}(-t))*y.$

• Analogamente al teorema della convoluzione, la correlazione incrociata soddisfa la proprietà:

$ℱ\{x\star y\}=(ℱ\{x\}{)}^{*}\cdot ℱ\{y\},$

in cui $ℱ$ denota la trasformata di Fourier.

• La correlazione incrociata ha come trasformata di Fourier la densità spettrale (vedere il Teorema di Wiener-Chinčin).
• La correlazione incrociata della convoluzione tra x e z con una funzione y è la convoluzione della correlazione di x e y con il nucleo z:

$(x*z)\star y=z(-)*(x\star y)$

• Se $X$ ed $Y$ sono due variabili aleatorie statisticamente indipendenti con densità di probabilità f e g, rispettivamente, allora la densità di probabilità della differenza $X-Y$ è data dalla correlazione incrociata f $\star$ g. Al contrario, la convoluzione f $*$ g dà la densità di probabilità della somma $X+Y$.

Autocorrelazione

Un'autocorrelazione è la correlazione incrociata di un segnale con se stesso,

Per un segnale di energia finita x l'autocorrelazione è definita come:

$R_x(t)\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{*}(\tau )x(t+\tau )d\tau$

in cui x * denota il complesso coniugato di x.

Per una sequenza tempo-discreto, l'autocorrelazione è definita come:

$R_x[n]\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}^{*}[m]x[n+m]$

Similmente, nel caso di segnali a potenza finita, si può scrivere:

$R_x(t)\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\underset{T\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{T}\underset{-\frac{T}{2}}{\overset{\frac{T}{2}}{\int }}{x}^{*}(\tau )x(t+\tau )d\tau$

e per sequenze di potenza finita:

$R_x[n]\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{2N+1}\sum _{m=-N}^N{x}^{*}[m]x[n+m]$

Il suo utilizzo ad esempio è quello di verificare eventuali pattern di periodicità del segnale x(t), in tal caso infatti anche la correlazione presenta periodicità pari ad un certo valore del parametro di traslazione.

Proprietà dell'autocorrelazione

• L'autocorrelazione ha sempre un picco nell'origine.

• L'autocorrelazione di un segnale è una funzione a simmetria hermitiana, $R_x^{*}(t)=R_x(-t)$, infatti

$\begin{array}{cc}{R}_x^{*}(t)& =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{[x^{*}(\tau )x(t+\tau )d\tau ]}^{*}\\ & =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x(\tau )x^{*}(t+\tau )d\tau \\ & =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{*}({\tau }^{\prime })x({\tau }^{\prime }-t)d{\tau }^{\prime }\\ & =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{*}({\tau }^{\prime })x({\tau }^{\prime }+(-t))d{\tau }^{\prime }\\ & =R_x(-t)\\ \end{array}$

dove è stata utilizzata l'identità $t+\tau ={\tau }^{\prime }$.

• L'autocorrelazione di un segnale interamente reale è pari in quanto la simmetria hermitiana differisce dalla parità per il coniugato, ma esso sui reali coincide con il numero stesso.

• Il valore assunto nell’origine coincide con l’energia del segnale:

$R_x(0)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{*}(\tau )x(0+\tau )d\tau =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{*}(\tau )x(\tau )d\tau =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|x(\tau ){|}^{2}d\tau =E_x$.

Relazione tra correlazione e convoluzione

Si ricorda che la convoluzione tra due segnali $x(t)$ e $y(t)$, reali o complessi, indicata simbolicamente come:

$x(t)*y(t)$

è data indifferentemente dalle due espressioni:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}x(t)y(\tau -t)dt$

e

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}x(\tau -t)y(t)dt$,

dalla prima si passa alla seconda con un semplice cambio di variabile.

L'operatore di correlazione e quello di convoluzione sono legati dalla relazione

$R_{xy}(t)=x(t)*y^{*}(-t)$,

infatti

$x(t)*y^{*}(-t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}x(\tau )y^{*}(-(t-\tau ))d\tau =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}x(\tau )y^{*}(\tau -t)d\tau =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}x(\tau +t)y^{*}(\tau )d\tau =R_{xy}(t)$.

Voci correlate

• Covarianza incrociata
• Autocorrelazione
• Convoluzione
• Correlazione (statistica)
• Teorema di Wiener-Chinčin

Collegamenti esterni

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