Teorema dell'assorbimento

Template:F Nell'algebra di Boole vale il teorema dell'assorbimento, utilizzato nella sintesi e nell'analisi di un circuito combinatorio in elettronica digitale. Il teorema in realtà ne contiene due e i rispettivi duali e afferma che date due variabili booleane $A,B$:

Primo teorema dell'assorbimento:

$A\cdot (A+B)=A$

$A+A\cdot B=A$

Secondo teorema dell'assorbimento:

$A+\bar{A}\cdot B=A+B$

$A\cdot (\bar{A}+B)=A\cdot B$

Dimostrazioni

Dimostriamo il primo teorema:

$A\cdot (A+B)=A\cdot A+A\cdot B=A+A\cdot B=A\cdot 1+A\cdot B=A\cdot (1+B)=A\cdot 1=A$

e il suo duale si dimostra così:

$A+(A\cdot B)=A\cdot 1+A\cdot B=A\cdot (1+B)=A\cdot 1=A$

Per quanto riguarda il secondo teorema, si ha:

$A+(\bar{A}\cdot B)=(A+\bar{A})\cdot (A+B)=1\cdot (A+B)=A+B$

e il suo duale si dimostra così:

$A\cdot (\bar{A}+B)=A\cdot \bar{A}+A\cdot B=A\cdot B$

Voci correlate

• Algebra di Boole
• Teorema di Shannon (elettronica)