Frazione algebrica

In algebra e algebra computazionale, una frazione algebrica è una frazione il cui numeratore e denominatore sono espressioni ottenute componendo ripetutamente polinomi e potenze con esponente razionale. Due esempi di frazione algebrica sono $\frac{3x}{x^2+2x-3}$ e $\frac{\sqrt{x+2}}{x^2-3}$. Le frazioni algebriche sono soggette alle stesse regole delle frazioni numeriche.

Una frazione razionale è una frazione algebrica il cui numeratore e denominatore sono entrambi polinomi; in algebra e in geometria algebrica, il termine funzione razionale viene a volte usato come sinonimo di "frazione razionale". Un esempio di frazione razionale è $\frac{3x}{x^2+2x-3}$, mentre invece $\frac{\sqrt{x+2}}{x^2-3}$ non lo è, poiché il numeratore contiene una funzione radice quadrata. Una frazione algebrica può essere vista come un caso particolare di funzione algebrica, e una funzione algebrica che corrisponde a una frazione algebrica si dice esprimibile per radicali.

Terminologia

Nella frazione algebrica $\frac{a}{b}$, il dividendo a è detto il numeratore e il divisore b è detto il denominatore. Il numeratore e il denominatore sono detti termini della frazione algebrica.

Una frazione è ridotta ai minimi termini se l'unico fattore comune al numeratore e al denominatore è 1.

Una frazione algebrica che sia ottenuta come ripetuta composizione di polinomi e potenze razionali si dice intera. Il denominatore di una frazione algebrica intera è 1.

Frazioni razionali

Se le espressioni a e b sono polinomi, la frazione algebrica è detta razionale . Le frazioni razionali sono dette anche espressioni razionali. Una frazione razionale $\frac{f(x)}{g(x)}$ è detta propria se $\mathrm{deg}f(x)<\mathrm{deg}g(x)$, e impropria altrimenti. Per esempio, la frazione razionale $\frac{2x}{x^2-1}$ è propria, e le frazioni razionali $\frac{x^3+x^2+1}{x^2-5x+6}$ e $\frac{x^2-x+1}{5x^2+3}$ sono improprie. Ogni frazione razionale impropria può essere espressa come la somma di un polinomio (eventualmente costante) e una frazione razionale propria. Nel primo esempio si ha

$\frac{x^3+x^2+1}{x^2-5x+6}=(x+6)+\frac{24x-35}{x^2-5x+6},$

dove il secondo termine della somma è una frazione razionale propria. La somma di due frazioni razionali proprie è una frazione razionale propria. Il processo inverso, consistente nell'esprimere una frazione razionale propria come somma di due o più frazioni razionali prende il nome di risolvere la frazione iniziale in frazioni parziali. Per esempio,

$\frac{2x}{x^2-1}=\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}.$

In questo contesto, i due termini al secondo membro si dicono frazioni parziali.

Frazioni irrazionali

Una frazione irrazionale è una frazione algebrica non razionale, in particolare essa contiene la variabile sotto esponente frazionario. Un esempio di frazione irrazionale è

$\frac{(x+2{)}^{1/2}}{x^2-3},$

che equivale a

$\frac{\sqrt{x+2}}{x^2-3},$

oppure

$\frac{x^{1/2}-\frac{1}{3}a}{x^{1/3}-x^{1/2}}.$

Voci correlate

• Frazione (matematica)
• Polinomio
• Divisione dei polinomi
• Funzione razionale