Varietà di Seifert

Template:S In matematica, una varietà di Seifert è una 3-varietà che ha una decomposizione in circonferenze simile a quella che risulta da una fibrazione, come ad esempio la fibrazione di Hopf per la sfera $S^3$. Le varietà di Seifert furono introdotte e classificate da Herbert Seifert nel 1933. Negli anni ottanta le varietà di Seifert sono state reinterpretate in un'ottica più geometrica: queste rappresentano infatti esattamente 6 delle 8 geometrie tridimensionali prescritte dalla congettura di geometrizzazione di Thurston.

Definizione

In questo esempio $(p,q)=(5,2)$.

Un toro fibrato standard è la descrizione di un toro solido come unione di circonferenze. Dipende da due interi coprimi $(p,q)$. Si ottiene dalla fibrazione standard in segmenti del cilindro

$C=D^2\times [-1,1]$

(dove i segmenti sono i sottoinsiemi del tipo $\{x\}\times [-1,1]$) identificando le pareti orizzontali tramite una mappa

$\varphi :D^2\times \{-1\}\to D^2\times \{1\}$

che ruota il disco di un angolo $2\pi q/p$.

Le circonferenze sono dette fibre. La fibra centrale è quella corrispondente a $\{0\}\times [-1,1]$. Se $p=\pm 1$, la fibra centrale è detta ordinaria, altrimenti è detta eccezionale.

Una varietà di Seifert è una 3-varietà compatta che si decompone in circonferenze (le fibre), tale che ogni circonferenza abbia un intorno tubolare omeomorfo al toro fibrato standard.

Bibliografia

• Template:De Herbert Seifert, Topologie dreidimensionalen gefaserter Räume, Acta Math. 60 (1933) 147-238 (Esiste una traduzione in inglese di W. Heil del 1976)
• Template:En P. Orlik Seifert manifolds, Lecture notes in mathematics 291, Springer (1972).
• Template:En F. Raymond Classification of the actions of the circle on 3-manifolds, Trans. Amer.Math. Soc 31, (1968) 51-87.
• Template:En W. Jaco, Lectures on 3-manifold topology ISBN 0-8218-1693-4
• Template:En W. H. Jaco, P. B. Shalen Seifert Fibered Spaces in Three Manifolds: Memoirs Series No. 220 (Memoirs of the American Mathematical Society; v. 21, no. 220) ISBN 0-8218-2220-9
• Template:En Hempel, 3-manifolds, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-3695-1
• Template:En Scott, Peter The geometries of 3-manifolds. (errata) Bull. London Math. Soc. 15 (1983), no. 5, 401-487.
• Template:SpringerEOM

Voci correlate

• 3-varietà
• 3-varietà prima
• Decomposizione JSJ
• Congettura di geometrizzazione di Thurston