Nerbo (matematica)

Nella teoria degli insiemi, il nerbo è un oggetto associato ad un ricoprimento. Si tratta di uno schema simpliciale che contiene le informazioni sulle incidenze degli insiemi del ricoprimento.

Tale concetto è particolarmente utile in topologia perché può permettere (se sono verificate opportune ipotesi) di descrivere con sufficiente precisione uno spazio topologico tramite un oggetto combinatorio.

Definizione

Dato un insieme $X$ e un suo ricoprimento

$𝕌={\left(U_i\right)}_{i\in I}$

(I è una famiglia qualsiasi di indici), ossia una collezione di insiemi tali che

$\bigcup _{i\in I}{U}_i=X,$

il nerbo di $X$ è lo schema simpliciale associato allo spazio come segue: indicato con

$𝐍\left(𝕌\right)=(K,I)$

lo schema si ha

$\{i_0,i_1,\dots ,i_k\}\in K⟺U_{i_0}\cap U_{i_1}\cap \dots \cap U_{i_k}\ne \varnothing .$

In topologia

Il concetto di nerbo risulta avere importanti applicazioni in topologia algebrica. In questo contesto, $X$ è uno spazio topologico e $𝕌$ è un suo ricoprimento aperto. Il nerbo dipende fortemente dal ricoprimento scelto. Tuttavia, se il ricoprimento è sufficientemente "buono" allora $𝐍\left(𝕌\right)$ risulta essere una buona approssimazione di $X$: ad esempio, può essere omotopicamente equivalente ad $X$, oppure avere la stessa omologia.

Voci correlate

• Ricoprimento
• Complesso simpliciale

Collegamenti esterni

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