Campo dei quozienti

In algebra, il campo dei quozienti o campo delle frazioni o campo quoziente di un dominio d'integrità unitario $D$ è un campo $F$ tale che ogni elemento di $F$ può essere scritto come una frazione $a/b$, dove $a$ e $b$ sono elementi di $D$ e $b$ è diverso dallo zero di $D$, e dove la frazione $a/b$ è definita (mediante la costruzione descritta nel seguito) come una classe di equivalenza di coppie $(a,b)$.

Ad esempio, l'insieme $\mathbb{Q}$ dei numeri razionali è il campo dei quozienti dell'insieme $\mathbb{Z}$ dei numeri interi. Il campo delle frazioni di un campo $F$ coincide con sé stesso.

È un caso particolare di localizzazione di un anello.

Costruzione

La costruzione del campo dei quozienti di un dominio d'integrità unitario ricalca la costruzione formale dei razionali a partire dagli interi: nel prodotto cartesiano $D\times (D\setminus \{0\})$ si definisce la relazione di equivalenza

$(a,b)\sim (c,d)⟺ad=bc.$

Nell'insieme quoziente $F$ di questa relazione si definiscono poi le due operazioni tra classi di equivalenza

$[(a,b)]+[(c,d)]=[(ad+bc,bd)],$

$[(a,b)]\cdot [(c,d)]=[(ac,bd)].$

che sono operazioni interne e definite in $F$ e danno ad esso la struttura di campo. All'interno di $F$ gli elementi del tipo $[(a,1)]$ rappresentano gli elementi di $D$, ovvero l'insieme $D^{*}=\{[(a,1)]|a\in D\}\subset F$ è una copia isomorfa di $D.$

L'elemento di $F$ costituito dalla classe di equivalenza $[(a,b)]$ di una coppia $(a,b)$ viene anche indicato col simbolo di frazione $a/b$.

Proprietà

Il campo dei quozienti di un dominio d'integrità assegnato è unico, ovvero tutti i campi dei quozienti di un dato dominio d'integrità unitario sono isomorfi tra loro; inoltre i campi dei quozienti di due domini d'integrità unitari isomorfi sono a loro volta isomorfi.

Bibliografia

• Giulia Maria Piacentini Cattaneo, Algebra - un approccio algoritmico. Decibel-Zanichelli, Padova 1996, ISBN 978-88-08-16270-0