Congettura di Opperman

Template:S La congettura di Opperman è una congettura, formulata nel 1882, secondo cui il numero dei numeri primi minori o uguali a $n$, cioè $\pi (n)$, soddisfa la disuguaglianza

$\pi (n^2+n)>\pi (n^2)>\pi (n^2-n),\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}\vee n>1$

ossia, tra il quadrato di un numero $n$, e il quadrato più (o meno) quel numero, esiste almeno un numero primo. Essa pone una condizione più restrittiva del teorema di Chebyshev, che afferma

$\pi (2n)>\pi (n)$

Infatti posto $n^2=p,n=\sqrt{p}$, si ha che

$n^2+n=p+\sqrt{p}<2p,\mathrm{\forall }n>2$

e, col segno meno

$n^2-n=p-\sqrt{p}>\frac{p}{2},\mathrm{\forall }n>2$

e quindi

$2p>n^2+n=p+\sqrt{p}>p>p-\sqrt{p}=n^2-n>\frac{p}{2},\mathrm{\forall }n>2$

In pratica la congettura di Opperman dice che esiste sempre un numero primo tra $n^2-n$ e $n^2$, e tra $n^2$ e $n^2+n$, o equivalentemente, esistono almeno due numeri primi tra $n^2-n$ e $n^2+n$. La congettura sarebbe immediatamente dimostrata se venisse provato che la massima distanza tra due primi, di cui il minore è $p$, è proporzionale al quadrato del logaritmo di $p$, cioè

$\pi (p+c\cdot {\log }^{2}p)>\pi (p)$

La congettura di Opperman è anche una restrizione della congettura di Legendre, anch'essa indimostrata: secondo quest'ultima

$\pi ((n+1{)}^2)=\pi (n^2+2n+1)>\pi (n^2)$

o, in parole, vi è almeno un numero primo tra i quadrati di due numeri consecutivi.

Nel 1984 J. Iwaniec e H. Pintz hanno dimostrato che sempre un numero primo fra $n-n^{\theta }$ ed $n$, con $\theta =23/42=0,547...$. Poiché

$\mathrm{\forall }n>2,n^{\frac{23}{42}}>\sqrt{n}$

e

$\mathrm{\forall }n>2,n^{\frac{23}{42}}-\sqrt{n+n^{\frac{23}{42}}}<0$

la congettura di Opperman è un'ulteriore restrizione.

Bibliografia

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Voci correlate

• Congettura di Goldbach
• Congettura dei numeri primi gemelli
• Numero primo

Collegamenti esterni

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