Spostamento verso il rosso cosmologico

Lo spostamento verso il rosso cosmologico (detto anche redshift cosmologico) è lo spostamento relativo in frequenza di un'onda elettromagnetica dovuto all'espansione dell'universo. Inizialmente lo spostamento verso il rosso veniva attribuito all'effetto Doppler, tramite la relazione

$z\approx \frac{v_r}{c}$

ma l'osservazione sperimentale di alcuni quasar caratterizzati da uno spostamento verso il rosso compreso tra 5 e 6 ha smentito tale ipotesi. L'approssimazione del redshift come effetto Doppler è valida solo se $z\ll 1$. Il redshift cosmologico si spiega ipotizzando che le lunghezze d'onda varino allo stesso modo delle distanze per effetto dell'espansione dell'universo. Ciò è verificato dal teorema del redshift.

Ipotesi

Supponiamo che l'universo si stia espandendo, e che tutte le distanze varino secondo un fattore di scala $a(t)$ per cui possiamo ipotizzare

$D=a(t)r$

dove $r$ è la coordinata comovente, ovvero un tipo di coordinata che segue punto per punto l'espansione dell'universo.

Teorema del redshift

Il teorema del redshift afferma che la lunghezza d'onda $\lambda$ è proporzionale al fattore di scala dell'universo.

Consideriamo la metrica di Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker

$d{s}^2=c^{2}d{t}^2-a^2(t)[\frac{d{r}^2}{1-k{r}^2}+r^2(d{\theta }^2+{\sin }^{2}d{\varphi }^2)]$

dove $k$ è il parametro che identifica i tre diversi modelli di Friedman. Ora supponiamo di osservare un quasar posto ad una distanza comovente $r_1$ dalla terra (che assumiamo posta nel punto $r=0$) e sotto i due angoli costanti $\theta$ e $\phi$. In tali condizioni la metrica si riduce a

$d{s}^2=c^{2}d{t}^2-a^2(t)\frac{d{r}^2}{1-k{r}^2}$

ora considerando che stiamo osservando un'onda elettromagnetica dobbiamo porre $d{s}^2=0$ ottenendo

$\frac{dt}{a(t)}=-\frac{dr}{\sqrt{1-k{r}^2}}(1)$

(si osservi che c è stata posta uguale ad 1, ed il segno meno è dovuto al fatto che, al crescere di t, r diminuisce, in quanto l'onda elettromagnetica si avvicina alla terra con il passare del tempo).

Ci conviene ora considerare due creste consecutive dell'onda elettromagnetica: la prima emessa ad un tempo $t_1$ e ricevuta ad un tempo $t_0$, e la seconda emessa ad un tempo $t_1+\delta t_1$ e ricevuta ad un tempo $t_0+\delta t_0$.

Integrando la (1) per le due creste separatamente otteniamo

$\underset{t_1}{\overset{t_0}{\int }}\frac{dt}{a(t)}=\underset{0}{\overset{r_1}{\int }}\frac{dr}{\sqrt{1-k{r}^2}}\equiv F(r_1)$

$\underset{t_1+\delta t_1}{\overset{t_0+\delta t_0}{\int }}\frac{dt}{a(t)}=\underset{0}{\overset{r_1}{\int }}\frac{dr}{\sqrt{1-k{r}^2}}\equiv F(r_1)$

Dal momento che gli integrali al secondo membro sono uguali possiamo eguagliare gli integrali al primo membro delle due espressioni:

$\underset{t_1}{\overset{t_0}{\int }}\frac{dt}{a(t)}=\underset{t_1+\delta t_1}{\overset{t_0+\delta t_0}{\int }}\frac{dt}{a(t)}$

$\underset{t_1}{\overset{t_0}{\int }}\frac{dt}{a(t)}=\underset{t_1}{\overset{t_0}{\int }}\frac{dt}{a(t)}+\underset{t_0}{\overset{t_0+\delta t_0}{\int }}\frac{dt}{a(t)}-\underset{t_1}{\overset{t_1+\delta t_1}{\int }}\frac{dt}{a(t)}$

$\underset{t_0}{\overset{t_0+\delta t_0}{\int }}\frac{dt}{a(t)}=\underset{t_1}{\overset{t_1+\delta t_1}{\int }}\frac{dt}{a(t)}$

A questo punto consideriamo il fatto che la variazione del fattore di scala è molto lenta nel tempo $(\dot{a}/a\ll 1)$. Possiamo considerare il fattore di scala costante sia durante l'emissione delle due creste, sia durante la ricezione, e ottenere

$\frac{\delta t_1}{a(t_1)}=\frac{\delta t_0}{a(t_0)}$

e quindi

$\frac{\delta t_0}{\delta t_1}=\frac{a(t_0)}{a(t_1)}$

moltiplicando e dividendo il primo membro per $c$ si ottiene

$\frac{\lambda (t_0)}{\lambda (t_1)}=\frac{a(t_0)}{a(t_1)}\Rightarrow \lambda (t)=\lambda (t_0)\frac{a(t)}{a(t_0)}$

il che è esattamente quello che intendevamo dimostrare.

Il redshift cosmologico

Se consideriamo, quindi, la definizione di "spostamento verso il rosso" abbiamo:

$z=\frac{{\lambda }_o-{\lambda }_e}{{\lambda }_e}$

dunque, nel caso dello spostamento verso il rosso cosmologico si ottiene

$z(t)=\frac{a(t_0)}{a(t)}-1$

Voci correlate

• Spostamento verso il rosso
• Spostamento verso il rosso gravitazionale
• Coordinate comoventi
• Metrica di Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker
• Universo in accelerazione