Metodo di Laguerre

Il metodo di Laguerre è un metodo iterativo per trovare le radici reali di un polinomio, introdotto dal matematico francese Edmond Nicolas Laguerre.

La formula per l'iterazione è:

$x_{k+1}=x_k-\frac{nP(x_k)}{P^{\prime }(x_k)\pm \sqrt{(n-1)[(n-1)(P^{\prime }(x_k){)}^2-nP(x_k)P^{″}(x_k)}]}$,

dove $x_0$ è il valore iniziale scelto per innescare la procedura iterativa, $P(x)$ è il polinomio, $P^{\prime }(x)$ è la sua derivata prima, $P^{″}(x)$ è la sua derivata seconda, $n$ è il grado del polinomio $P(x)$. Il segno scelto per la radice quadrata deve essere concorde a quello di $P^{\prime }(x_k)$ quando non nullo, per ottenere il rapporto minore.

Cambiando il valore iniziale di $x_0$ è possibile ricercare, se esiste, una radice reale diversa.

Esempio:
Sia $P(x)=4x^4+3x^3-5x^2-4x+1$
quindi $P^{\prime }(x)=16x^3+9x^2-10x-4$
e $P^{″}(x)=48x^2+18x-10$
Per $x_0=0$
$x_1=0,1975496259559987...$
$x_2=0,2055025290836081...$
$x_3=0,2055031204717088...$
$x_4=0,2055031204717088...$
per $x_0=1$
$x_1=1,0755226110163770...$
$x_2=1,0756019089596258...$
$x_3=1,0756019089597004...$
$x_4=1,0756019089597004...$

La convergenza del metodo di Laguerre è molto veloce.

Bibliografia

• Forman S. Acton - Numerical Methods that Work" Harper & Row., 1970 ISBN 0883854503.
• Edmond Nicolas Laguerre Oeuvres Complètes t. 1 (New York : Chelsea publ., 1972) ISBN 0828402639
• A. Ralston, P. Rabinowitz A first course in numerical analysis (New York: Dover, 2001) p. 371 ISBN 048641454X