Teorema di Chevalley

In matematica, il teorema di Chevalley (o anche teorema di Chevalley-Warning) asserisce che un polinomio in n incognite

$P(x_1,x_2,\dots ,x_n)$

di grado d<n ha in un campo finito di caratteristica p un numero di soluzioni divisibile per p.

Come corollario, se P è un polinomio senza termine noto, ovvero in cui una soluzione può essere ottenuta ponendo tutte le incognite pari a 0, allora esiste almeno un'altra soluzione del polinomio. Questo corollario è utile ad esempio per provare che l'equazione

$x^2+y^2\equiv -1modp$

ha soluzione per ogni primo p: infatti lo si può trasformare in

$x^2+y^2+1\equiv 0modp$

$X^2+Y^2+Z^2\equiv 0modp$

moltiplicando per $Z^2\ne 0$, ottenendo un polinomio di secondo grado in tre incognite, che per il teorema ha una soluzione $(X_0,Y_0,Z_0)$ in cui non tutte le incognite sono congrue a 0; da questo si ottiene una soluzione

$x_0=X_0{Z}_0^{-1},y_0=Y_0{Z}_0^{-1}$

che soddisfa la congruenza originale. Questo risultato è utile nella dimostrazione del teorema dei quattro quadrati.

Questo teorema fu dimostrato nel 1936 da Claude Chevalley dopo essere stato congetturato da Emil Artin.

Bibliografia

• H. Davenport, Aritmetica superiore, Zanichelli, Bologna, 1994, ISBN 8808091546 - Capitoli II e V