Interpolazione di Lagrange

In analisi numerica l'interpolazione di Lagrange è un particolare tipo di interpolazione polinomiale, fu scoperta per la prima volta da Edward Waring nel 1779, successivamente da Leonhard Euler nel 1783 e infine riscoperta da Joseph Louis Lagrange nel 1795.

Definizione

Data una funzione $f(x)$ e $n+1$ punti $a_0,a_1,a_2...a_n$ per cui sono noti i valori $f(a_0),f(a_1),f(a_2)...f(a_n)$ si definisce il polinomio interpolatore di Lagrange della funzione $f$ il polinomio

$P(x)=\sum _{i=0}^{n}f(a_i)\prod _{j\ne i,j=0}^n\frac{x-a_j}{a_i-a_j}$

Proprietà

Per ogni $i=1,2...n$ si ha $P(a_i)=f(a_i)$ e per qualsiasi $x$ si ha

$f(x)=P(x)+\frac{1}{n!}\prod _{i=1}^n(x-a_i)f^{(n)}(\xi )$

dove $\xi$ è un valore incognito funzione di $x$ appartenente all'intervallo minimo a cui appartengono i punti $a_1,a_2...a_n$ e $x$.

Dimostrazione

Per semplicità scriviamo

$p_n(x)=\prod _{i=1}^n(x-a_i)$

per cui

$P(x)=\sum _{i=1}^{n}f(a_i)g_i(x)$

dove

$g_i(x)=\frac{p_n(x)}{(x-a_i){p_n}^{\prime }(a_i)}=\prod _{j\ne i}\frac{x-a_j}{a_i-a_j}$

ora abbiamo che per ogni $i\ne j$ accade che $g_i(a_j)=0$ poiché l'espressione di $g_i(x)$ contiene un fattore $x-a_j$ a numeratore, del resto $g_i(a_i)=1$ per ogni $i$ da cui $P(a_i)=f(a_i)$.

Adesso consideriamo la funzione

$F(z)=f(z)-P(z)-[f(x)-P(x)]\frac{p_n(z)}{p_n(x)}$

quando $x\ne a_i\mathrm{\forall }i$, essa ha $n+1$ zeri nei punti $a_1,a_2...a_n$ e $x$, derivando $n$ volte

$F^{(n)}(z)=f^{(n)}(z)-P^{(n)}(z)-[f(x)-P(x)]\frac{p_n^{(n)}(z)}{p_n(x)}$

Dall'applicazione del teorema di Rolle per $n$ volte la funzione $F^{(n)}(z)$ ha almeno uno zero $\xi$ nell'intervallo minimo che contiene $a_1,a_2...a_n$ e $x$.

Sappiamo che $p_n(x)$ è un polinomio di grado $n$ il cui coefficiente di $x^n$ è 1, per cui $p_n^{(n)}(x)=n!$, invece $P(x)$ è un polinomio di grado $n-1$ per cui $P^{(n)}(x)=0$, infine

$F^{(n)}(z)=f^{(n)}(z)-P^{(n)}(z)-[f(x)-P(x)]\frac{n!}{p_n(x)}$

$0=F^{(n)}(\xi )=f^{(n)}(\xi )-[f(x)-P(x)]\frac{n!}{p_n(x)}$

da cui

$f(x)-P(x)=\frac{p_n(x)}{n!}{f}^{(n)}(\xi )$

Voci correlate

• Interpolazione
• Analisi numerica

Collegamenti esterni

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