Gruppo ordinato

Template:F In algebra, un gruppo ordinato è un gruppo $G$ dotato di una relazione d'ordine parziale che preserva l'operazione di gruppo: se $\le$ è una relazione d'ordine su $G$, allora per ogni $a,b,c$ in $G$ deve valere che

$a\le b$ implica $ac\le bc$ e $ca\le cb.$

Si dice anche che $\le$ è invariante per traslazioni (la motivazione del nome è più evidente per gruppi additivi).

Grazie alle proprietà di un gruppo possiamo enunciare la caratterizzazione:

$a\le b$ se e solo se $e\le a^{-1}b,$

dove $e$ è l'elemento neutro del gruppo. L'insieme degli elementi maggiori o uguali di $e$ si denota con $G^{+}$ e si dice il cono positivo di $G$. L'insieme $G^{+}$ definisce completamente l'ordine: infatti un gruppo è un gruppo ordinato se e solo se esiste un suo sottoinsieme $H$ (che sarà proprio $G^{+}$) tale che:

• $e\in H$;
• se $a,b\in H$, allora $ab\in H$;
• se $a\in H$, allora $b^{-1}ab\in H$ per ogni $b$;
• se $a,a^{-1}\in H$, allora $a=e$.

Un omomorfismo tra gruppi ordinati (o O-omomorfismo) è definito come un omomorfismo di gruppi che sia anche una funzione monotona.

Esempi

• Uno spazio vettoriale ordinato e un campo ordinato sono banalmente gruppi ordinati rispetto all'addizione.
• Il prodotto diretto di $n$ copie del gruppo additivo dei numeri interi ${\mathbb{Z}}^n$ con l'ordinamento "termine a termine", cioè $a\le b$ se $a_i\le b_i$ per ogni $i=1,\dots ,n$, è un gruppo ordinato.
• L'insieme delle funzioni da un qualsiasi insieme a un gruppo ordinato è un gruppo ordinato, con le operazioni definite puntualmente.

Collegamenti esterni

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