Gruppo residualmente finito

Template:S In algebra, un gruppo $G$ è residualmente finito se per ogni elemento non banale $g$ esiste un omomorfismo di gruppi

f : G \to H

a valori in un gruppo finito, tale che

f (g) \neq 1 .

Questa condizione può essere espressa in vari modi equivalenti. I sottogruppi residualmente finiti contengono "molti" sottogruppi normali. Esempi di gruppi residualmente finiti sono i gruppi finiti, i gruppi liberi, i gruppi nilpotenti finitamente generati e i sottogruppi di $G l_{n} (ℂ)$ finitamente generati.

Definizioni alternative

Le definizioni seguenti sono equivalenti a quella data.

$G$ è residualmente finito se per ogni elemento $g$ esiste un sottogruppo normale $H$ di indice finito non contenente $g$ ,
$G$ è residualmente finito se l'intersezione di tutti i sottogruppi di indice finito è il sottogruppo banale ${e}$ .
$G$ è residualmente finito se l'intersezione di tutti i sottogruppi normali di indice finito è ${e}$ .