Albero di Fibonacci

Albero di fibonacci di altezza 5

LTemplate:'Albero di Fibonacci è un albero AVL che, data una determinata altezza, ha il minor numero possibile di nodi mantenendo il bilanciamento.

Questo particolare tipo di albero prende il nome dall'omonimo matematico Leonardo Fibonacci. L'albero ha infatti le caratteristiche della famosa successione, è infatti intrinsecamente ricorsivo. Lo si evince dal fatto che qualsiasi albero di Fibonacci di altezza h può essere costruito a partire da una radice e da un sottoalbero di altezza h-2 come sottoalbero destro e h-1 come sottoalbero sinistro.

Si verifica intuitivamente e visivamente che il coefficiente di bilanciamento di ogni singolo nodo dell'albero è +1. Quindi questa categoria di alberi è quella che più si avvicina alla condizione di sbilanciamento, pur essendo ancora bilanciato.

Lemma dell'altezza

Enunciato

Sia ${𝒯}_h$ un albero di Fibonacci di altezza $h$ e sia ${𝑛}_h$ il numero dei suoi nodi. Risulta $ℎ=\theta (\log n_h)$

Dimostrazione

Per la natura stessa dell'albero di Fibonacci, risulta che ${𝑛}_h$ $=1+{𝑛}_{h-1}+{𝑛}_{h-2}$

Tale enunciato ricorda molto la formula ricorsiva per il calcolo della successione di Fibonacci. Si riesce a dimostrare per induzione che ${𝑛}_h={ℱ}_{h+3}-1$ dove ${ℱ}_h$ rappresenta l'h-esimo elemento della successione di Fibonacci.

• Passo base:

Il passo base è verificato banalmente, dato che ${𝑛}_0=1$ e ${ℱ}_3-1=2-1=1$.

• Passo induttivo:

Supponiamo che per ogni $𝑘<ℎ$ si abbia che ${𝑛}_k={ℱ}_{k+3}-1$ ed usando le ricorrenze relative ad $n_h$ e ad ${ℱ}_i$ si ottiene:

${𝑛}_h=1+{𝑛}_{h-1}+{𝑛}_{h-2}=1+{ℱ}_{h+2}-1+{ℱ}_{h+1}-1={ℱ}_{h+3}-1$

Inoltre una proprietà della successione di Fibonacci è che il rapporto tra due numeri della successione $\underset{h\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{{ℱ}_{h+1}}{{ℱ}_h}$ si avvicina sempre più al Rapporto Aureo $\varphi =\frac{(1+\sqrt{5})}{2}\approx 1,61803...$ e si dimostra che ${ℱ}_h=\frac{{\varphi }^h-(1-\varphi {)}^h}{\sqrt{5}}=\frac{{\varphi }^h-(-\varphi {)}^{-h}}{\sqrt{5}}=\theta ({\varphi }^h)$ .

L'altezza dell'albero e il numero dei nodi sono quindi legati esponenzialmente, ragion per cui si ottiene $h=\mathrm{\Theta }(\log n_h)$, in dettaglio un albero di Fibonacci con $n_h$ nodi ha altezza $<1,44\log (n_h+2)-0,328$

Considerazioni

Il lemma precedente permette anche di dimostrare che l'altezza di qualsiasi albero AVL è funzione logaritmica del numero dei nodi.