Insieme induttivo (teoria degli ordini)

Template:F In teoria degli ordini, un insieme ordinato $X$ si dice induttivo se:

Ogni catena di $X$ ha un maggiorante.

Insiemi induttivi e Lemma di Zorn

Il concetto di insieme induttivo è alla base del Lemma di Zorn. La definizione classica del lemma è infatti:

Dato un insieme $X$ parzialmente ordinato, se ogni sua catena ha un maggiorante, allora $X$ contiene un elemento massimale

Ma tale definizione può essere riformulata come:

$X$ induttivo non vuoto $\Rightarrow$ ha un elemento massimale.

Osserviamo che non è vera l'implicazione inversa, a meno che l'ipotesi non venga rafforzata:

$X$ ha massimo $\Rightarrow$ è induttivo.