Indipendenza algebrica

In algebra astratta, un sottoinsieme $S$ di un campo $L$ si dice algebricamente indipendente su un sottocampo $K$ se gli elementi di $S$ non soddisfano nessuna equazione polinomiale non banale a coefficienti in $K$.

Questo significa che per ogni sequenza finita ${\alpha }_1,...,{\alpha }_n$ di elementi distinti di $S$ e per ogni espressione polinomiale $P(x_1,...,x_n)$ a coefficienti in $K$, si ha: $P({\alpha }_1,...,{\alpha }_n)\ne 0$.

In particolare, un unico elemento $\alpha$ è algebricamente indipendente su $K$ se e solo se è trascendente in $K$. In generale, tutti gli elementi di un insieme algebricamente indipendente su $K$ sono necessariamente trascendenti su $K$ stesso anche se questa non è affatto condizione sufficiente.

Per esempio: il sottoinsieme dei numeri reali $\{\sqrt{\pi },2\pi +1\}$ non è algebricamente indipendente sull'insieme $\mathbb{Q}$ dei razionali dal momento che l'espressione polinomiale $P(x_1,x_2)=2x_1^2-x_2+1$ vale zero se si scelgono $x_1=\sqrt{\pi }$ e $x_2=2\pi +1$.

Non è noto se l'insieme {π, e} sia algebricamente indipendente su $\mathbb{Q}$.

Nel 1996 Yu Nesterenko ha dimostrato l'indipendenza algebrica di $\{\pi ,e^{\pi },\mathrm{\Gamma }(1/4)\}$ su $\mathbb{Q}$.

Data un'estensione di campi $L/K$, si può utilizzare il lemma di Zorn per dimostrare che esiste sempre un sottosinsieme massimale di $L$ algebricamente indipendente su $K$. Inoltre tutti i sottoinsiemi algebricamente indipendenti massimali hanno la stessa cardinalità nota come grado di trascendenza dell'estensione.

Bibliografia

• Yu. V. Nesterenko, Algebraic independence of π and e^π, Number Theory and its Applications, Proc. 1996 Ankara conf., ed. C. Y. Yildirim and S. A. Stepanov, Dekker, 1999, pp. 121-149; MR 99k:11113

Voci correlate

• Estensione di campi
• Indipendenza lineare
• Indipendenza affine