Teorema di Cauchy-Kovalevskaya

In analisi matematica, il teorema di Cauchy-Kovalevskaya è un importante risultato di esistenza e unicità per equazioni alle derivate parziali con coefficienti analitici associate a problemi di Cauchy. Questo teorema è dovuto a Augustin Cauchy (1842) in un caso particolare e a Sof'ja Kovalevskaja (1875) in generale.

Primo ordine

Si consideri un sistema di EDP di m variabili dipendenti e n + 1 variabili indipendenti:

$\frac{\partial u_i}{\partial t}=F_i(u_1,\dots ,u_m;t,x_1,...x_n;\frac{\partial u_1}{\partial x_1},\dots ,\frac{\partial u_m}{\partial x_n})$

in cui $F_1\dots ,F_m$ sono analitiche in un intorno del punto $(u_1^0,\dots ,u_m^0;t^0,x_1^0,\dots ,x_n^0)$ con condizioni iniziali:

$u_i=f_i(x_1,\dots ,x_n)$

per il tempo iniziale $t=t_0$, e le $f_1\dots ,f_m$ sono analitiche in un intorno del punto $(x_1^0,\dots ,x_n^0)$ tale che $u_i^0=f_i(x_1^0,\dots ,x_n^0)$.

Allora esiste un'unica soluzione analitica in un intorno del punto considerato.

Si tratta di un risultato di esistenza locale: non assicura cioè che la soluzione sia definita in tutto lo spazio. Un'importante considerazione è che il tipo di equazione (parabolica, ellittica, iperbolica) è irrilevante. Con semplici trasformazioni si può generalizzare leggermente il teorema: con un cambio di variabile $t^{\prime }=t-\varphi (x_1,\dots ,x_m)$ si può supporre che le condizioni iniziali siano date su una varietà generica piuttosto che sul piano $t=t_0$.

Una dimostrazione si ricava espandendo in serie formale di potenze entrambi i membri della EDP.

Ordine superiore

Se $F$ e $f_j$ sono analitiche in un intorno dello zero, allora il problema di Cauchy non-lineare:

$\underset{t}{\overset{k}{\partial }}h=F(x,t,\underset{t}{\overset{j}{\partial }}\underset{x}{\overset{\alpha }{\partial }}h)j<k|\alpha |+j\le k$

con condizione iniziale:

$\underset{t}{\overset{j}{\partial }}h(x,0)=f_j(x)0\le j<k$

possiede una soluzione unica in un intorno dello zero. Ciò segue dal caso di ordine 1 considerando il fatto che la derivata di $h$ nel membro a destra può essere vista come la componente di una funzione vettoriale.

Per esempio, l'equazione del calore:

${\partial }_{t}h=\underset{x}{\overset{2}{\partial }}h$

con la condizione:

$h(0,x)=\frac{1}{1+x^2}$

per $t=0$, posside un'unica soluzione espandibile in serie formale di potenze attorno al punto $(0,0)$, che tuttavia non converge per tutti i valori di $t$ diversi da 0, e quindi non si hanno soluzioni analitiche in un intorno dell'origine.

Il teorema di Cauchy-Kowalevski-Kashiwara

Il teorema di Cauchy-Kowalevski-Kashiwara fornisce una generalizzazione per sistemi lineari di equazioni alle derivate parziali che si deve a Kashiwara (1983). Tale risultato include una formulazione coomologica presentata attraverso il linguaggio dei D-moduli.

Ad esempio, dato $n\le m$, sia $Y=\{x_1=\cdots =x_n\}$. Il sistema ${\partial }_{x_i}f=g_i,i=1,...,n,$ possiede una soluzione $f\in ℂ\{x_1,...,x_m\}$ se e solo se le condizioni ${\partial }_{x_i}{g}_j={\partial }_{x_j}{g}_i$ sono soddisfatte. Per avere una soluzione unica si deve incorporare una condizione iniziale $f{|}_Y=h$, dove $h\in ℂ\{x_{n+1},...,x_m\}$.

Bibliografia

• Template:En L. Bers, F. John, M. Schechter, Partial differential equations, Interscience (1964)
• Template:En A.V. Bitsadze, Equations of mathematical physics, MIR (1980) (Translated from Russian)
• Template:En V.S. Vladimirov, Equations of mathematical physics, MIR (1984) (Translated from Russian)
• Template:En R. Courant, D. Hilbert, Methods of mathematical physics. Partial differential equations, 2, Interscience (1965) (Translated from German)
• Template:En L. Hörmander, Linear partial differential operators, Springer (1963)

Voci correlate

• Equazione differenziale alle derivate parziali
• Funzione analitica
• Problema di Cauchy
• Teorema di Cauchy-Kowalevski-Kashiwara

Collegamenti esterni

• Template:SpringerEOM
• Template:EnPagina Template:Webarchive su PlanetMath
• Template:Cita web