Quadratura di Gauss

Confronto tra la regola di quadratura di Gauss a 2 punti e la regola dei trapezi. La linea blu è il polinomio $y(x)=7x^3-8x^2-3x+3$, il cui integrale in $[-1,1]$ è $2/3.$ La regola del trapezio dà l'integrale della linea arancione tratteggiata, uguale a $y(-1)+y(1)=-10$. La regola di quadratura di Gauss a 2 punti dà l'integrale della linea nera tratteggiata, uguale a $y(-\sqrt{1/3})+y(\sqrt{1/3})=2/3$. Tale risultato è esatto in quanto la regione verde ha la stessa area delle somma delle aree delle regioni rosse.

In analisi numerica, le formule gaussiane di quadratura sono formule di quadratura numerica di massimo grado di precisione, utilizzate per l'approssimazione di un integrale definito della forma $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$ conoscendo $n+1$ valori della funzione $f$ nell'intervallo $[a,b]$.

Teorema

Dati $n+1$ punti nodali $\{x_0,x_1,\dots ,x_n\}$ in un intervallo $[a,b]$, e una funzione $f(x)$, il grado di precisione di una formula interpolatoria di quadratura $\sum _{i=0}^{n}f(x_i)w_i$ è uguale a $2n+1$ se questi nodi sono gli zeri di un polinomio ortogonale $P_{n+1}(x)$ in $[a,b]$ rispetto ad una funzione peso $w(x)$.

Dimostrazione

Per ipotesi si scelga una $f(x)\in {\mathbb{P}}_n$, spazio dei polinomi di grado $n$, la scelta della $f(x)$ infatti non influenza la successione di valori $w_i$.

Vale allora che

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)w(x)dx=\sum _{i=0}^{n}f(x_i)w_i$

perché, essendo univocamente determinati i pesi $w_i$, la formula di quadratura deve essere di precisione almeno $n$. Si consideri il polinomio $B(x)$, un polinomio di grado $2n+1$, tale che $B(x_i)=f(x_i)$ per ogni $i,$ e che $B(x)-f(x)=P_{n+1}(x)g_n(x)$, dove $P_{n+1}$ è un polinomio ortogonale di grado $n+1$ avente gli $n+1$ zeri nei punti nodali.

È quindi possibile scrivere

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}w(x)[B(x)-f(x)]dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}w(x)[P_{n+1}(x)g_n(x)]dx,$

ma il secondo membro dell'uguaglianza vale 0 essendo $P_{n+1}(x)$ polinomio ortogonale. Ne consegue che

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}w(x)B(x)dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}w(x)f(x)dx=\sum _{i=0}^{n}f(x_i)w_i=\sum _{i=0}^{n}B(x_i)w_i,$

da cui risulta che, considerando il primo e l'ultimo membro della serie di uguaglianze, i pesi $\{w_0,w_1,\dots ,w_n\}$ sono i coefficienti di una formula di quadratura numerica di grado $2n+1$.

Calcolo dei pesi

Dalla definizione di formula interpolatoria di quadratura numerica si ha che il generico peso di interpolazione $w_i$ è costruito come

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}{l}_i(x)dx$

o generalmente

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}{l}_i(x)w(x)dx$

dove $l_i(x)$ è il coefficiente del polinomio di Lagrange di indice $i$. Si ha che $l_i(x)$ può anche essere espresso come

$\frac{h(x)}{(x-x_i)h^{\prime }(x_i).}$

Se si intende con $h(x)$ la funzione così definita:

$(x-x_0)(x-x_1)\dots (x-x_n).$

Il polinomio ortogonale ha $n+1$ zeri, quindi

$P_{n+1}(x_i)=a_{n+1}h(x),$

dunque

$l_i(x)=\frac{P_{n+1}(x)}{(x-x_i)P{\text{'}}_{n+1}(x_i)}.$

Pertanto il generico peso $w_i$ è calcolabile come

$\frac{1}{P{\text{'}}_{n+1}(x_i)}\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{P_{n+1}(x)w(x)dx}{(x-x_i)}.$

Bibliografia

• E. T. Whittaker e G. Robinson The Calculus of Observations (London, Blackie & sons, 1924) p. 159
• M. Abramowitz e I. Stegun Handbook of Mathematical Functions (New York, Dover, 1972) p. 887
• P. J. Davis e P. Rabinowitz, Methods of numerical integration. (New York, Academic Press, 1975).

Collegamenti esterni

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