Disuguaglianza di Bonse

In teoria dei numeri, la disuguaglianza di Bonse è una disuguaglianza tra numeri primi, dimostrata per vie elementari da H. Bonse nel 1907. Detto $p_n$ l'$n$-esimo numero primo, essa afferma che

$p_{n+1}^2<p_1{p}_2...p_n$

per $n>3$. Utilizzando questa disuguaglianza, Bonse dimostrò che 30 è il più grande intero $n$ con la seguente proprietà: se un numero naturale $k$, con $1<k<n$, è tale che il massimo comune divisore $(n,k)=1$, allora $k$ è un numero primo.

Bonse dimostrò anche la disuguaglianza più forte:

$p_{n+1}^3<p_1{p}_2...p_n$

per $n>5$.

Queste disuguaglianze rafforzano la seguente:

$p_{n+1}<p_1{p}_2...p_n$

che è conseguenza immediata della dimostrazione di Euclide del teorema dell'infinità dei numeri primi.

Miglioramenti e disuguaglianze analoghe

M. Dalezman dimostrò nel 2000 che

$p_{n+1}{p}_{n+2}<p_1{p}_2...p_n$

per $n>3$.

J. Sandór dimostrò alcune disuguaglianze simili nel 1988, tra cui:

$p_{n+5}^2+p_{[\frac{n}{2}]}^2<p_1{p}_2...p_n$

per $n>23$.

L. Pósa dimostrò nel 1960 che, per ogni $k>1$, esiste $n_k$ tale che:

$p_{n+1}^k<p_1{p}_2...p_n$

per $n\ge n_k$.

L. Panaitopol dimostrò nel 2000 che è sufficiente scegliere $n_k=2k$ e, in particolare, dimostrò che:

$p_{n+1}^{n-\pi (n)}<p_1{p}_2...p_n$

dove $\pi (x)$ è la funzione enumerativa dei primi.

Bibliografia

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• Robert J. Betts, Using Bonse's Inequality to Find Upper Bounds on Prime Gaps, Journal of Integer Sequences, 10, 2007, Versione online.
• G. van Golstein Brouwers, D. Bamberg, J. Cairns, "Totally Goldbach numbers and related conjectures". Australian Mathematical Society Gazette. Vol 31(4) (2004), p. 254. Versione online.
• József Sándor, Geometric Theorems, Diophantine Equations, and Arithmetic Functions, American Research Pres, 2002, ISBN 1-931233-51-9, pp. 238–240. versione online