Anello dei polinomi

Template:S In algebra astratta, l'anello dei polinomi costruiti a partire da un certo anello $A$ è una struttura algebrica contenente tutte le espressioni polinomiali a coefficienti in $A$.

Se $A[X]$ è un dominio d'integrità, il suo campo dei quozienti è dato dall'insieme delle funzioni razionali a coefficienti nel campo dei quozienti di $A$.

Definizione

Se $A$ è un anello, si definisce come anello dei polinomi in una variabile a coefficienti in $A$ l'insieme

$A^{(\mathbb{N})}=\{(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}:a_n\in A,a_n=0\text{ per quasi tutti gli n}\}$,

cioè l'insieme delle successioni a valori in $A$ definitivamente nulle. Tale insieme assume la struttura di anello se munito delle seguenti operazioni di somma e prodotto:

$(a_n{)}_n+(b_n{)}_n:=(a_n+b_n{)}_n$

$(a_n{)}_n\times (b_n{)}_n:=(c_n{)}_n,c_n=\sum _{p+q=n}(a_p\cdot b_q)$

La seconda operazione è esattamente il prodotto di Cauchy delle due successioni. Tale anello si denota in maniera standard con $A[X]$ e i suoi elementi possono essere rappresentati come

$p=a_m{X}^m+a_{m-1}{X}^{m-1}+\cdots +a_{1}X+a_0$,

dove $X$ rappresenta un simbolo formale, che serve solo come "segnaposto" per indicare che il coefficiente $a_m$ è l'$m$-esimo elemento della successione.

Anello dei polinomi in $n$ variabili

Si può definire l'anello dei polinomi in due variabili a coefficienti nell'anello $A$ induttivamente: essendo $A[X]$ esso stesso un anello, lo si può prendere come l'anello di provenienza dei coefficienti e definire dunque

$A[X,Y]:=(A[X])[Y]$

e, per $n$ variabili,

$A[X_1,...,X_n]:=R[X_n],$, con $R=A[X_1,...,X_{n-1}]$.

Tale costruzione permette di allargare le proprietà che $A[X]$ ereditava da $A$ fino all'$n$-esima variabile; ad esempio, se $A$ è un dominio, lo sarà anche $A[X_1,...,X_n]$ e così via.

Gli anelli seguenti sono tutti isomorfi in modo naturale:

$A[X,Y]\cong (A[X])[Y]\cong A[Y,X]\cong (A[Y])[X]$

Rapporti tra $A$ e l'anello dei polinomi

Alcune proprietà dell'anello $A$ si trasferiscono all'anello dei polinomi $A[X]$, mentre altre no; le prime sono significative perché, per induzione, possono poi essere estese agli anelli di polinomi in qualunque numero di variabili. Un esempio è la presenza dell'unità: $A[x]$ è un anello unitario se e solo se lo è $A$, così come $A[X]$è un dominio d'integrità se e solo se lo è $A$: se lo è $A$, infatti, il prodotto dei due monomi di grado massimo è ancora un monomio non nullo, unico con quel grado; viceversa, $A$ è un sottoanello di $A[X]$, formato dalle sue costanti, e quindi non può possedere divisori dello zero.

Dal punto di vista della fattorizzazione, se $A$ è un anello a fattorizzazione unica lo è anche $A[X]$ (e quindi anche ogni $A[X_1,\dots ,X_n]$). La dimostrazione procede prima esaminando il caso in cui $A$ è un campo: in questa situazione, è sempre possibile dividere i coefficienti dei monomi di grado massimo, e quindi è possibile la divisione tra polinomi, che rende $A[X]$ un anello euclideo con la valutazione data dal grado del polinomio; bisogna notare tuttavia che $A[X]$ non è un campo, e quindi $A[X,Y]$ non è un anello euclideo: in effetti non è neppure un anello ad ideali principali, in quanto l'ideale $(X,Y)$ non può essere generato da un singolo elemento. Passando poi ad un anello a fattorizzazione unica $A$ generico, si nota che $A[X]$ è un sottoanello di $K[X]$, dove $K$ è il campo dei quozienti di $A$; la tesi segue quindi dal lemma di Gauss, che afferma che un polinomio primitivo (ovvero il cui massimo comun divisore tra i coefficienti è 1) è irriducibile in $A[X]$ se e solo se è irriducibile in $K[X]$.

Un'altra importante proprietà che passa all'anello dei polinomi è la noetherianità: se $A$ è un anello noetheriano, lo è anche $A[X]$. Tale risultato è noto come teorema della base di Hilbert.

Bibliografia

• Giulia Maria Piacentini Cattaneo, Algebra - un approccio algoritmico. Decibel-Zanichelli, Padova 1996, ISBN 9788808162700

Voci correlate

• Polinomio
• Teoria degli anelli
• Geometria algebrica
• Teorema fondamentale dell'algebra
• Campo algebricamente chiuso