Cerchio di Apollonio

La costruzione geometrica del cerchio di Apollonio

Il cerchio di Apollonio è il luogo geometrico formato dai punti del piano tali che il rapporto delle loro distanze da due punti fissati è costante. Talora viene chiamato con questo nome uno qualunque dei cerchi che risolve il problema di Apollonio.

Il nome deriva da Apollonio di Perga, geometra e astronomo greco, che per primo dimostrò che il luogo descritto era una circonferenza; tale proprietà può in effetti essere usata come definizione alternativa di circonferenza.

Equazione cartesiana

Fissiamo due punti $A$ e $B$, in modo che $A$ coincida con l'origine degli assi e $B$ sia posto a distanza $d$ da esso. Un generico punto $P$ del cerchio di Apollonio è caratterizzato dalla relazione:

$\frac{\overline{AP}}{\overline{BP}}=k,$

dove $k$ è una costante positiva. Traducendo le distanze in coordinate cartesiane si ha

$\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{{(x-d)}^2+y^2}}=k,$

che elevando al quadrato e semplificando i denominatori diventa

$x^2+y^2=k^2{(x-d)}^2+k^2{y}^2.$

Riorganizzando l'equazione e normalizzando i coefficienti di secondo grado si ottiene l'equazione della circonferenza in forma canonica:

$x^2+y^2-\frac{2k^{2}d}{k^2-1}x+\frac{k^2{d}^2}{k^2-1}=0.$

Proprietà

Dall'equazione cartesiana sopra riportata è possibile dedurre alcune proprietà del cerchio di Apollonio:

• il centro del cerchio è posto in $C(\frac{k^{2}d}{k^2-1},0)$, e si trova sempre sul prolungamento del segmento $AB$;
• il raggio del cerchio vale $\frac{kd}{|k^2-1|}$;
• per $k=1$ il cerchio di Apollonio degenera nell'asse del segmento $AB$; per $k>1$ il cerchio contiene il punto $B$; per $0<k<1$ il cerchio contiene il punto $A$;
• quando il rapporto tra le distanze è uguale alla sezione aurea, il cerchio ha raggio uguale alla lunghezza del segmento $AB$.

Voci correlate

• Circonferenza
• Cerchio
• Problema di Apollonio

Collegamenti esterni

• Template:Cita web
• Problemi di inseguimento, una applicazione del cerchio di Apollonio
• Una applet java interattiva per disegnare il cerchio di Apollonio