Distribuzione di Birnbaum-Saunders

Template:F In teoria delle probabilità la distribuzione di Birnbaum-Saunders, noto anche come distribuzione della vita a fatica, è una distribuzione di probabilità continua, dipendente da due parametri, definita sui numeri reali positivi e utilizzata per descrivere probabilità di rottura di un sistema.

Venne descritta nel 1969 da Z.W. Birnbaum e Sam C. Saunders con due articoli nel Journal of Applied Probability (A new family of life distributions e Estimation for a family of life distributions with applications to fatigue).

funzione di densità di probabilità per alcuni valori di α, con β=1

La funzione di densità di probabilità è

$f(t|\alpha ,\beta )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\frac{\sqrt{t/\beta }+\sqrt{\beta /t}}{2\alpha t}{e}^{-\frac{(\sqrt{t/\beta }-\sqrt{\beta /t}{)}^2}{2{\alpha }^2}}$

È legata alla variabile casuale normale standardizzata dalle seguenti relazioni:

Se Z~N(0;1) e

$T=\beta {[\frac{\alpha Z}{2}+\sqrt{{\left(\frac{\alpha Z}{2}\right)}^2+1}]}^2$

allora T è una variabile casuale di Birnbaum-Saunders con parametri $\alpha$ e $\beta$.

Se T~BS(α , β) allora

$Z=\frac{1}{\alpha }(\sqrt{\frac{T}{\beta }}-\sqrt{\frac{\beta }{T}})$

è distribuita come una normale standardizzata.

I momenti di ordine n sono dati da

$m_n=\beta \sum _{j=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{2j})\sum _{i=0}^j(\genfrac{}{}{0ex}{}{j}{i})\frac{(2(n-j+i))!}{2^{n-j+i}(n-j+i)!}{\left(\frac{\alpha }{2}\right)}^{2(n-j+i)}$

per cui valore atteso, e la mediana sono

$\mu =\frac{1}{2}\beta ({\alpha }^2+2)$

mediana = β

la varianza e il coefficiente di variazione sono

${\sigma }^2=\frac{1}{4}{\beta }^2(5{\alpha }^4+4{\alpha }^2)$

$cv=\frac{(5{\alpha }^4+4{\alpha }^2{)}^{1/2}}{{\alpha }^2+2}$

mentre gli indici di simmetria e curtosi sono

$\frac{44{\alpha }^3+24\alpha }{(5{\alpha }^2+4{)}^{3/2}}$

$3+\frac{558{\alpha }^4+240{\alpha }^2}{(5{\alpha }^2+4{)}^2}$

dall'assenza di β da questi ultimi 3 indici si capisce perché il coefficiente β venga chiamato coefficiente di scala, infatti vale che se T~BS(α,β) allora

• cT ~ BS(α , cβ), per valori positivi di c
• 1/T ~ BS(α , 1/β)

La funzione cumulata F(x) è data da

$F(x)=\mathrm{\Phi }\left(\frac{1}{\alpha }(\sqrt{\frac{x}{\beta }}-\sqrt{\frac{\beta }{x}})\right)$

dove $\mathrm{\Phi }(\cdot )$ è la funzione cumulata di una Normale standardizzata N(0,1)

L'inversa della funzione cumulata $x(p)=F^{-1}(p)$, utile per calcolare i quantili o generare numeri casuali, è data da

$x(p)=\beta {(\frac{\alpha z_p}{2}+\sqrt{{\left(\frac{\alpha z_p}{2}\right)}^2+1})}^2$, per $0<p<1$

dove $z_p$ è il p-esimo percentile della N(0,1), così come si trova abitualmente tabulata.

Voci correlate

• Tempo medio fra i guasti
• Funzione di ripartizione della variabile casuale normale