Equazione differenziale lineare di ordine superiore al primo

Un'equazione differenziale lineare di ordine superiore al primo è un'equazione differenziale lineare in cui compaiono derivate di ordine generico della funzione incognita.

Definizione

Un'equazione differenziale lineare di ordine n completa a coefficienti variabili ha la forma:

$y^{(n)}+a_1(x)\cdot y^{(n-1)}+a_2(x)\cdot y^{(n-2)}+\cdots +a_{n-1}(x)\cdot y^{\prime }+a_n(x)\cdot y=f(x)$

Una tale equazione è in generale particolarmente difficile da risolvere, qualora sia possibile. Nel caso in cui tutti i coefficienti sono funzioni costanti:

$y^{(n)}+a_1\cdot y^{(n-1)}+a_2\cdot y^{(n-2)}+\cdots +a_{n-1}\cdot y^{\prime }+a_n\cdot y=f(x)$

l'equazione si risolve trovando una soluzione all'equazione lineare omogenea associata, alla quale si somma una soluzione particolare dell'equazione completa. Il corrispondente problema di Cauchy:

$\{\begin{array}{c}y(x=x_0)=y_0\\ y^{\prime }(x=x_0)=y_1\\ ⋮\\ y^{(n)}(x=x_0)=y_n\end{array}$

è allora risolvibile e fornisce una e una sola soluzione.

Esempio

Il più facile esempio di equazione differenziale di ordine n è:

$y^{(n)}=f(x)$

il cui integrale è facilmente ricavabile:

$y=\underset{n}{\int }f(x)d{x}^n+c_1{x}^{n-1}+c_2{x}^{n-2}+\cdots +c_{n-1}x+c_n$

Si tratta di integrare n volte la $f(x)$.

Un esempio numerico è $y^{‴}=\sin x$, dove integrando tre volte successivamente si ha:

$y^{″}=-\cos x+c_1^{{\text{'}}^{\prime }}{y}^{\prime }=-\sin x+c_1^{\text{'}}\cdot x+c_2^{\text{'}}y=\cos x+c_1\cdot x^2+c_{2}x+c_3$

Equazione omogenea

Si può dimostrare che il wronskiano delle soluzioni dell'equazione differenziale è la soluzione generale dell'equazione omogenea associata. Le soluzioni devono essere indipendenti, e ciò implica che il wronskiano sia diverso da zero. La sua soluzione si ottiene con una procedura analoga a quella per le equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti, in cui si devono trovare le radici dell'equazione caratteristica associata:

${\lambda }^n+a_1\cdot {\lambda }^{n-1}+a_2\cdot {\lambda }^{n-2}+\cdots +a_{n-1}\cdot \lambda +a_n=0$

• Se le radici ${\lambda }_i$ sono tutte distinte allora le soluzioni sono della forma:

$y=e^{{\lambda }_i\cdot x}$

• Se una radice, ad esempio ${\lambda }_1$, è soluzione multipla di molteplicità $s$, allora affinché le sue soluzioni siano indipendenti devono avere la forma:

$e^{{\lambda }_1\cdot x}x{e}^{{\lambda }_{1}x}{x}^2{e}^{{\lambda }_{1}x}\cdots x^{s-1}{e}^{{\lambda }_{1}x}$

• Se una radice è unica ed è la complessa coniugata di un'altra, ovvero ${\lambda }_{1,2}=c\pm id$, allora:

$e^{cx}\cos (dx),e^{cx}\sin (dx)$

• Se la radice complessa coniugata $\lambda =c\pm id$ è multipla con molteplicità $r$ si ha:

$e^{cx}\cos (dx)x{e}^{cx}\cos (dx)x^2{e}^{cx}\cos (dx)\cdots x^{r-1}{e}^{cx}\cos (dx)$

$e^{cx}\sin (dx)x{e}^{cx}\sin (dx)x^2{e}^{cx}\sin (dx)\cdots x^{r-1}{e}^{cx}\sin (dx)$

La soluzione del problema di Cauchy si ottiene determinando il valore delle n costanti di integrazione che appaiono nella soluzione dell'omogenea.

Equazione completa

Template:Vedi anche In generale per risolvere l'equazione caratteristica associata bisogna sommare alla soluzione dell'omogenea una soluzione particolare, ottenibile con il metodo delle variazioni delle costanti o metodo di Lagrange. Nel seguito si considerano alcuni casi particolari:

• Sia:

$f(x)=P(x)$

dove $P(x)$ è un polinomio di grado m. In questo caso si cerca una soluzione particolare del tipo $u(x)=P_1(x)$, dove $P_1(x)$ è un polinomio formale di grado m. Se tuttavia la soluzione dell'omogenea è nulla, allora si deve cercare una soluzione del tipo:

$u(x)=x^r{P}_1(x)$

• Sia:

$f(x)=A\cdot e^{\alpha x}$

dove $A$ è una costante data. Se $\alpha$ non è una radice dell'equazione omogenea associata, si cerca una soluzione particolare del tipo:

$u(x)=B\cdot e^{\alpha x}$

dove $B$ è una costante da determinare. Nel caso $\alpha$ sia radice di molteplicità $r$ si cerca una soluzione del tipo:

$u(x)=x^r\cdot B\cdot e^{\alpha x}$

• Sia:

$f(x)=P(x)\cdot e^{\alpha x}$

dove $P(x)$ è un polinomio di grado m. Se $\alpha$ non è una radice dell'equazione omogenea associata, si cerca una soluzione particolare del tipo:

$u(x)=P_1(x)\cdot e^{\alpha x}$

dove $P_1$ è un polinomio formale di grado m. Nel caso $\alpha$ sia radice di molteplicità $r$ si cerca una soluzione del tipo:

$u(x)=x^r\cdot P_1(x)\cdot e^{\alpha x}$

• Se $f$ possiede una delle seguenti espressioni:

$f(x)=A\cdot \cos (\beta x)f(x)=B\cdot \sin (\beta x)f(x)=A\cdot \cos (\beta x)+B\sin (\beta x)$

dove $A$ e $B$ sono costanti date, allora se $i\beta$ non è una radice dell'equazione omogenea associata si cerca una soluzione particolare del tipo:

$f(x)=C\cdot \cos (\beta x)+D\sin (\beta x)$

dove $C$ e $D$ sono costanti da determinare. Nel caso $i\beta$ sia radice di molteplicità $r$ si cerca una soluzione del tipo:

$f(x)=x^r(C\cdot \cos (\beta x)+D\sin (\beta x))$

• Sia:

$f(x)=f_1(x)+f_2(x)+...+f_m(x)$

Per la linearità dell'equazione si può risolvere separatamente:

$y^{(n)}+a_1{y}^{(n-1)}+\cdots +a_{n}y=f_i(x)i=1,...,m$

e successivamente sommare le $u_i(x)$ soluzioni:

$u=u_1+u_2+\cdots +u_m$

Bibliografia

• Arfken, G. "A Second Solution." §8.6 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 467–480, 1985.
• Boyce, W. E. and DiPrima, R. C. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 4th ed. New York: Wiley, 1986.
• Morse, P. M. and Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 667–674, 1953.

Voci correlate

• Equazione differenziale lineare del secondo ordine
• Equazione differenziale lineare
• Equazione differenziale ordinaria
• Wronskiano
• Metodo delle variazioni delle costanti
• Equazione omogenea di Eulero