Teorema di Abel

In matematica, il teorema di Abel o teorema della convergenza radiale di Abel mette in relazione il limite di una serie di potenze (reale o complessa) con la somma dei suoi coefficienti. Prende il nome dal matematico norvegese Niels Henrik Abel.

Enunciato

Sia:

$f(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{z}^k$

una serie di potenze con coefficienti reali o complessi e raggio di convergenza $R>0$. Se la serie numerica:

$\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{R}^k$

converge, allora:

$\underset{z\to R}{\lim }f(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{R}^k$

purché il limite sia valutato su una successione di numeri reali, o più in generale all'interno di un angolo di Stolz, cioè una regione del disco aperto di centro l'origine e raggio $R$ in cui:

$|R-z|\le M(R-|z|)$

per qualche $M$ fissato (il teorema è valido per qualsiasi scelta di $M$). Senza questa restrizione il limite può non esistere.

Nel caso speciale in cui tutti i coefficienti $a_k$ siano reali positivi per ogni $k$ il limite per $z\to R$ è valido anche quando la serie $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$ non converge, ma in questo caso ambo i membri della formula sono $+\mathrm{\infty }$.

Dimostrazione

Possiamo supporre $R=1$. Sottraendo una costante da $a_0$, si può assumere che:

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k=0.$

Sia $s_n=\sum _{k=0}^n{a}_k$. Allora sostituendo $a_k=s_k-s_{k-1}$, con semplici manipolazioni della serie si ha:

$f(z)=(1-z)\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{s}_k{z}^k.$

Dato $ϵ>0$, sia $n$ sufficientemente grande da consentire $|s_k|<ϵ$ per tutti i $k\ge n$. Si nota che:

$|(1-z)\sum _{k=n}^{\mathrm{\infty }}{s}_k{z}^k|\le ϵ|1-z|\sum _{k=n}^{\mathrm{\infty }}|z{|}^k=ϵ|1-z|\frac{|z{|}^n}{1-|z|}<ϵM$

quando $z$ è all'interno dell'angolo di Stoltz. Se $z$ è abbastanza vicino a 1 si ha:

$|(1-z)\sum _{k=0}^{n-1}{s}_k{z}^k|<ϵ$

in modo che $|f(z)|<(M+1)ϵ$ quando $z$ è nell'angolo di Stoltz ed è anche abbastanza vicino a 1.

Applicazioni

Se una serie di potenze:

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k(z-z_0{)}^k$

centrata in $z_0$ converge in un punto $z_1$, allora essa ha raggio di convergenza $R$ almeno:

$R\ge |z_0-z_1|.$

Il teorema consente di valutare diverse serie in forma chiusa. Ad esempio, quando $a_k=\frac{(-1{)}^k}{(k+1)}$ si ottiene:

$f(z)=\frac{\ln (1+z)}{z},0<z<1$

integrando la serie di potenze geometrica uniformemente convergente termine a termine sull'intervallo $[-z,+\mathrm{\infty }]$. In questo modo la serie $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{(k+1)}$ converge a $\ln (2)$ per il teorema di Abel. In modo simile, $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{(2k+1)}$ converge ad $\arctan (1)=\frac{\pi }{4}$.

La funzione $f(z)$ è la funzione generatrice della successione $\{a_k\}$.

Bibliografia

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Voci correlate

• Raggio di convergenza
• Serie di potenze

Collegamenti esterni

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