Evoluta

In blu l'evoluta di un'ellisse (rosso).

Evoluta (rosso) di una parabola (blu).

In geometria differenziale delle curve, l'evoluta di una curva piana $\gamma$ è un'altra curva piana $E$ che si ottiene come luogo geometrico dei centri di curvatura di $\gamma$ (ovvero i centri dei cerchi osculatori, che meglio approssimano la curva nei punti). Per esempio, l'evoluta di un cerchio è il suo centro stesso. In questo modo $\gamma$ viene detta involuta o evolvente di $E$.

Definizione

Sia la curva piana $\gamma (s)$ parametrizzata dal parametro lunghezza d'arco. Il raggio di curvatura (raggio del cerchio osculatore) è definito come:

$R(s)=\frac{1}{k(s)}$.

Il centro di curvatura si trova sulla linea normale a $\gamma (s)$ ed è posto ad una distanza di $R$ da $\gamma (s)$, nella direzione determinata dal segno di $k$, ovvero:

$E(s)=\gamma (s)+R(s)𝐍(s)=\gamma (s)+\frac{1}{k(s)}𝐍(s)$.

Al variare di $s$, quindi, tale centro definisce una curva piana detta evoluta di $\gamma$.

Voci correlate

• Involuta

Collegamenti esterni

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